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薁第1章随机事件及其概率膀(1)肈排列组合公式蚆从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。薂从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。艿(2)蒇加法和乘法原理蒆加法原理(两种方法均能完成此事):m+n蚄某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n种方法来完成。蚁乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n袇某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n种方法来完成,则这件事可由m×n种方法来完成。***(3)蒁一些常见排列蝿重复排列和非重复排列(有序)芆对立事件(至少有一个)羇顺序问题蒂(4)膂随机试验和随机事件羀如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。蒃试验的可能结果称为随机事件。薄(5)芀基本事件、样本空间和事件葿在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质:膄①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;莁②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。荿这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用来表示。袈基本事件的全体,称为试验的样本空间,用表示。袄一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合。通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是的子集。莂为必然事件,Ø为不可能事件。螁不可能事件(Ø)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件(Ω)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。芈(6)蚅事件的关系与运算蒄①关系:衿如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):蚇如果同时有,,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:A=B。莅A、B中至少有一个发生的事件:AB,或者A+B。芁属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者,它表示A发生而B不发生的事件。节A、B同时发生:AB,或者AB。AB=Φ,则表示A与B不可能同时发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。膆Ω-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。膅②运算:莃结合率:A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C莀分配率:(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)袀德摩根率:,袆(7)莄概率的公理化定义蒈设为样本空间,为事件,对每一个事件都有一个实数P(A),若满足下列三个条件:艿1°0≤P(A)≤1,蚆2°P(Ω)=1膁3°对于两两互不相容的事件,,…有袁虿常称为可列(完全)可加性。莇则称P(A)为事件的概率。芃(8)罿古典概型肈1°,肇2°。芄设任一事件,它是由组成的,则有莂P(A)=P=薇袇(9)肁几何概型蒀若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何概型。对任一事件A,羇。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。莄(10)膃加法公式薈P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)莆当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)肄(11)芄减法公式羁P(A-B)=P(A)-P(AB)聿当BA时,P(A-B)=P(A)-P(B)袄当A=Ω时,P()=1-P(B)羂(12)芃条件概率螃定义设A、B是两个事件,且P(A)>0,则称为事件A发生条件下,事件B发生的条件概率,记为。衿条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。莇例如:P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)蚆(13)膂乘法公式蕿乘法公式:莈更一般地,对事件A1,A2,…An,若P(A1A2…An-1)>0,则有螄…………。蚂(14)芀独立性膆①两个事件的独立性膆设事件、满足,则称事件、是相互独立的。肁若事件、相互独立,且,则有肀芇若事件,相互独立,则可得到与,与,与也都相互独立。芅必然事件和不可能事件Φ与任何事件都相互独立。蒀Φ与任何事件都互斥。螀②多个事件的独立性艿设A,B,C是三个事件,如果满足两两独立的条件,莃P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)膄并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)薁那么A、B、C相互独立。肆对于n个事件类似。螅(15)薃全概率公式芁设事件满足***1°两两互不相容,,袄2°,肃则有螇。艿(16)芆贝叶斯公式蒂(用于求后验概率)蒈设事件,,…,及满足肆1°,,…,两两互不相容,>0,1,2,…,,莅袁2°,且,芈肇则蒃,i=1,2,…n。莁此公式即为贝叶斯公式。罿,(,,…,),通常叫先验概率。,(,,…,),通常称为后验概率。