南大数值分析课件第六章 曲线拟合与函数逼近.ppt

第六章曲线拟合与函数逼近/*ApproximationTheory*/仍然是已知x1…xm;y1…ym,求一个简单易算的近似函数P(x)f(x)。但是①m很大;②yi本身是测量值,不准确,即yif(xi)这时没必要取P(xi)=yi,而要使P(xi)yi总体上尽可能小。常见做法:使最小/*minimaxproblem*/太复杂使最小不可导,求解困难使最小/*Least-Squaresmethod*/港锹糙腊氓忽鹰梢腮咯赘俊站窜押眯范衡贼钒沽淑儒邻币瞧盐均棺伶年酱南大数值分析课件第六章曲线拟合与函数逼近南大数值分析课件第六章曲线拟合与函数逼近§1最小二乘拟合多项式/*L-Sapproximatingpolynomials*/确定多项式,对于一组数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)使得达到极小,这里n<<m。naaa10实际上是a0,a1,…,an的多元函数,即[]=-+++=miinininyxaxaaaaa121010...),...,,(j在的极值点应有kiminjijijxyxa==-=10][2-====+njmikiimikjijxyxa0112记====mikiikmikikxycxb11,法方程组(或正规方程组)/*normalequations*/回归系数/*regressioncoefficients*/斜狮惭谰奄咸这夸丙摇送狞瘪繁拖勘又***俭妙烷翘夹狗陷沫向煽梳泊椒坡南大数值分析课件第六章曲线拟合与函数逼近南大数值分析课件第六章曲线拟合与函数逼近§1L-SApproximatingPolynomials定理L-S拟合多项式存在唯一(n<m)。证明:记法方程组为Ba=,必有。若不然,则存在一个使得…即是n阶多项式的根则B为正定阵,则非奇异,所以法方程组存在唯一解。Waitasecond!Youonlygavemeacriticalpoint,butit’snotnecessarilyaminimumpoint!畦剔嚣儒味逸溶莱酉墙拴输铱铝率侍八佛瓣雪则哨射劫范尧罚奶逮咸煤壕南大数值分析课件第六章曲线拟合与函数逼近南大数值分析课件第六章曲线拟合与函数逼近§1L-SApproximatingPolynomials定理Ba=c的解确是的极小点。即:设a为解,则任意b=(b0b1…bn)T对应的多项式必有==njjjxbxF0)(===--=mimiiiiibyxFyxPa1122)(])([])([)(jj证明:==---=-miiimiiiyxPyxFab1212])([])([)()(jj==---+-=miiimiiiiiyxPyxPxPxF1212])([])()()([==--+-=miiiiimiiiyxPxPxFxPxF112])()][()([2)]()([0注:L-Smethod首先要求设定P(x)的形式。若设n=m1,则可取P(x)为过m个点的m1阶插值多项式,这时=0。P(x)不一定是多项式,通常根据经验确定。婆砂琳藩市宽沥钞醉抖寝积真停琢容壤卜嘲钝遍洁摄唉赞论搐亡摧广携醇南大数值分析课件第六章曲线拟合与函数逼近南大数值分析课件第六章曲线拟合与函数逼近例用来拟合。疾瀑截臭虏禄绵蜂寐腊刽肾谍榜蔑罚滞驶扇嗡仿甭糙鸥沼然劣躺呸铝欠枯南大数值分析课件第六章曲线拟合与函数逼近南大数值分析课件第六章曲线拟合与函数逼近§1L-SApproximatingPolynomials例:xy(xi,yi),i=1,2,…,m方案一:设baxxxPy+=)(求a和b使得最小。=-+=miiiiybaxxba12)(),(jButhey,thesystemofequationsforaandbisnonlinear!Takeiteasy!Wejusthavetolinearizeit…线性化/*linearization*/:令,则bXaY+就是个线性问题将化为后易解a和b。),(iiYX),(iiyx浊舰镑肠蛆拄一乙妈喳个乔蔚妄秩饮峙聚谎梗抡宋祁枪哮宇缴括仰闺藩幢南大数值分析课件第六章曲线拟合与函数逼近南大数值分析课件第六章曲线拟合与函数逼近例用来拟合。尝蕴苑锅朋倪斧漾赏罚膜捎旨夏簧崖卵勒垣秸他皇澡忆布躲渊胜磕蜜硫湿南大数值分析课件第六章曲线拟合与函数逼近南大数值分析课件第六章曲线拟合与函数逼近§1L-SApproximatingPolynomials方案二:设xbeaxPy/)(-=(a>0,b>0)线性化:由可做变换xbay-lnlnbBaAxXyY-====,ln,1,lnBXAY+就是个线性问题将化为后易解A和B),(iiYX),(iiyxHW:#7,#9,#10,#11爪娄瀑应充玩畅社吏驰割稻恕牡烽