由递推公式求通项的9种方法经典总结.doc

+1=an+f(n)型把原递推公式转化为an+1-an=f(n),再利用累加法(逐差相加法)求解,即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1).[例1] 已知数列{an}满足a1=,an+1=an+,求an.[解] 由条件,知an+1-an===-,则(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=+++…+,所以an-a1=1-.因为a1=,所以an=+1-=-.+1=f(n)an型把原递推公式转化为=f(n),再利用累乘法(逐商相乘法)求解,即由=f(1),=f(2),…,=f(n-1),累乘可得=f(1)f(2)…f(n-1).[例2] 已知数列{an}满足a1=,an+1=·an,求an.[解] 由an+1=·an,得=,故an=··…··a1=××…××=.即an=.+1=pan+q(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0)型对于此类问题,通常采用换元法进行转化,假设将递推公式改写为an+1+t=p(an+t),比较系数可知t=,可令an+1+t=bn+1换元即可转化为等比数列来解决.[例3] 已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,求an.[解] 设递推公式an+1=2an+3可以转化为an+1-t=2(an-t),即an+1=2an-t,则t=-+1+3=2(an+3).令bn=an+3,则b1=a1+3=4,且=={bn}是以b1=4为首项,=4×2n-1=2n+1,即an=2n+1-+1=pan+qn(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0)型(1)一般地,要先在递推公式两边同除以qn+1,得=·+,引入辅助数列{bn},得bn+1=·bn+,再用待定系数法解决;(2)也可以在原递推公式两边同除以pn+1,得=+·n,引入辅助数列{bn},得bn+1-bn=n,再利用叠加法(逐差相加法)求解.[例4] 已知数列{an}中,a1=,an+1=an+n+1,求an.[解] 法一:在an+1=an+n+1两边乘以2n+1,得2n+1·an+1=(2n·an)+=2n·an,则bn+1=bn+1,根据待定系数法,得bn+1-3=(bn-3).所以数列{bn-3}是以b1-3=2×-3=-为首项,-3=-·n-1,即bn=3-,an==3n-:在an+1=an+n+1两边乘以3n+1,得3n+1an+1=3nan+n+=3n·an,则bn+1=bn+n+-bn-1=n,bn-1-bn-2=n-1,…,b2-b1=,得bn-b1=2+…+n-1+=3a1=3×==1+,所以bn=1++2+…+n-1+n==2n+1-2,即bn=2n+1-==3n-+1=pan+an+b(p≠1,p≠0,a≠0)型这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令an+1+x(n+1)+y=p(an+xn+y),与已知递推式比较,解出x,y,从而转化为{an+xn+y}是公比为p的等比数列.[例5] 设数列