培训笔记——三角函数、向量、三角.doc

【引用】培训笔记——三角函数、向量、三角【引用】培训笔记——三角函数、向量、三角恒等变换2011年03月05日近期参加了新教材的培训,聆听了关于三角函数本质的解读,茅塞顿开,收获颇丰,下面是听课笔记,不一定全面,仅供参考。改变****惯从理解内容开始——以三角函数为例一、强调“函数的角度”,强调刻画周期现象的数学模型。三角函数与其他学科的练****与结合非常重要。最重要的是它与振动和波动的联系。“可以它几乎是全部高科技的基础之一”,这是当前数学教学的薄弱环节。振动和波动都是周期现象,可以三角函数刻画,比如手机、电视机、网络、核磁共振、航天没有三角函数的不行的。强化发挥单位圆的作用,强调利用向量方法,淡化三角恒等变形的技巧内容。高考中恒等变换以前占的比例大,现在占的比例顶多是中下。三角函数16课时,三角恒等变形8课时,解三角形8课时。诱导公式2课时,比以前少。教材编写顺序的变化:和差角独立成章,不是三角函数的核心环节。解三角形不是任意角三角函数的应用。任意角三角函数有它自己的应用。如果要调整,要把向量调整到任意角三角函数之前,而不是调整到后面。思考:为什么这样变化?三角函数与其他函数的不同点到底在哪里?为什么要强调单位圆的作用? 二、强调单位圆作用的理由三角函数的本质。过去对三角函数本质的理解是不到位的。三角函数是匀速旋转这个最简单的圆周运动的本质表现。用数学的模型表达出来就是三角函数。这与三角函数的起源有关系: 匀速旋转运动及其数学研究自古以来就是重大问题,三角学源自天文学。正弦函数、余弦函数是一对起源于圆周运动、密切配合的周期函数;它们的基本性质则是圆的几何性质(主要是对称性)的直接反应。——项武义圆有哪些几何性质,代数化以后就是三角函数的性质。而且核心是对称性。为什么?因为圆是中心对称图形,而且关于任意一条直径对称。这是唯一的图形。把这个对称性表达出来就是三角函数的性质。你如果不注意单位圆的作用,你落后了。三角函数是以角为自变量的函数,角是什么呢?角是“转”出来的。初中不讲方向,也不讲超过一周怎么刻画。高中要在初中的基础上进行拓展,拓展在哪里?高中所讲的角就是转出来的,且要进行定量刻画,于是涉及到,始边和终边必需区分开来,于是必需有方向。大小的问题相对好解决,核心是方向。所以讲任意角是讲方向。带上方向后有什么好处? 任意角不仅仅是可以取任意值的角,还有方向:将任意角a旋转任意角b,得到的一定是a+b。有向线段的长度对角的性质无影响,所以只讨论单位有向线段旋转所成的角。把它的起点置于(0,0),终点是(x,y),x2+y2=1于是角就是单位圆上的点在去圆周上旋转所成的,称为任意角。因此用弧度表示角是必要的。在高等数学中,不用弧度制就会引来麻烦。三、匀速旋转的研究内容首先是角,a=wt+a0,a0是角的初始位置。这有数学意义,更重要的是有物理意义。课程衔接上,物理中的匀速运动在数学之后,于是在数学学****中没有突出其物理意义。研究单位圆上的点的运动规律这就是三角函数的任务,这也是为什么采用单位圆定义法,它直接体现了单位圆上点的运动规律。与原来的定义完全等价,但是原来的定义绕了一个弯子。只要给出单位圆上的一个点,就给出了正、余弦函数,因此“正弦函数和余弦函数是天造地设的一对圆满姻缘。”两个函数除了相位的差别之外没有其他差别。因此只要研究清楚了正弦函数,余弦函数就清楚了。而且在这个定义下,三角函数的性质都是定义的推论。这句话要认真琢磨。所有的恒等变形公式也是从定义推出来,包括和差角,它们也是三角函数的性质。诱导公式解决三角函数的旋转对称,和角公式解决旋转任意角的公式与原来角的关系。三角恒等变形可以进一步简化——已没有太大用处了,因为过去是为了制作三角函数表,应付天文学、测量学的需要,现在这种计算用微积分的方法可以轻松完成(有人认为是“培养能力”) 一篇文章:对三角函数定义修改的感悟,湖北阳新实验中学修改两字不合适——选择了另一种定义。数学上任何对象的定义都是不唯一的。任何定义都不是十全十美的。选择了就****惯了。传统定义概念具有一般化,这种认识是不对的。终边上的点是任意的,单位圆上的点是特殊。这是理解是不对的。单位圆上的点是一般性的,与终边上点了任意性没有任何差异。二者是一致的。具有很强的知识继承性和发展性。与锐角三角函数。这也是不对的,锐角三角函数是讨论解三角形,任意角是研究周期变化。二者不完全一样。当然借助锐角引入也是可以的。不从单位圆出发,又要学生养成用单位圆研究的****惯是不容易的。要利用好“先入为主”。实际教学中用了新的定义之后,学生对定义的应用深入人心。特殊角三角函数值的理解和记忆带来方便。因为都是轴线角,用坐标很好理解。有利于三角函数的符号的认识。比如正弦函数值就对着坐标。加深了对诱导公式的理解。有利于三角函数图象的教学。数形结合。四、三角