一元函数微分学.doc

【例1】设函数在点处有定义,且证明:函数在处可导,并求证由已知条件,知其中所以,即所以,函数在处可导,且【例2】已知函数在的某邻域内有连续导数,且试求及.()解将与在的某邻域内展开为一阶麦克劳林公式的形式:则【例3】已知在连续,(),则【】()有且仅有一个不可导点()处处可导()处处不可导(),则使存在的最高阶导数的阶数为【】()()()(),欲使在可导,则必有【】()()()()()()(),又,,又,,令,,(1)求分段函数的导数(2)隐函数求导法对数求导法(3)参数方程求导法极坐标方程求导法(4)复合函数求导法(5)高阶导数的求法逐次求导归纳;间接求导法.【例1】已知函数由方程组确定,求()【例2】设由确定则()【例3】设函数,证明存在常数,使得当时,【例4】()当时,与为同阶无穷小,则解因为当时,应用马克劳林公式,有于是,即当时,原式为的阶无穷小,故【例5】当时,函数在时关于的无穷小的阶数最高.()解因为所以当时,在时关于的无穷小阶数最小,为五阶无穷小.【例6】给定一般项为的趋于零数列,,有故的一个等价无穷小量.【例7】设其中为正整数,则(;)解因为令应用莱布尼兹公式,因所以,【例8】设时,求解应用的马克劳林公式所以因为,故【例9】设求()解且求导得继续演算几阶导数,去发现规律;先还是去分母,得求导得由以上几式归纳,可假设成立,求导则有,归纳法完成.(1)当为偶数时,由上式及前述结果,有(2)当为奇数数时,()()()()6.()(1)求复合函数的定义域;(2)()(),,,,则(),则(),且求(;1999,北方工大),且试求及()()解令因应用莱布尼兹公式得,()(1)证明含一个中值的等式或根的存在,多用罗尔定理,可用原函数法找辅助函数.(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可考虑用柯西中值定理.(3)若结论中含两个或两个以上的中值,必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,有时也可考虑对导数用中值定理.(5)若结论不为等式,要注意适当放大或缩小的技巧.【例1】试证多项式没有重根.()证由于,若设是的根(当然它也是的根),则有所以从而,但以代入题设多项式,得或出现矛盾,可见不是的根,从而没有重根,得证.【例2】设函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且有,试证明对任意给定的正数,在内必有不同的两点,,得与由知对任意给定的正数,在内必有不同的两点,,在开区间内可导,且有,试证明:在内必有不同的两点,使得.()【例3】设函数在闭区间上连续,在开区间内二阶可导,,则使得,对函数在区间上用罗尔定理, ,在开区间内二阶可导,,且试证明存在使得【例4】设函数在闭区间上三次可导,,试证明存在使得【例5】设函数在内具有二阶连续导数且,证明(1)内的任意,存在唯一的,使得成立;(2)(.)证明(1)任给非零,由拉格朗日中值定理得唯一性的证明用反证法,假设还存在与不相等的使则有由罗尔定理,在与之间必存在使而与矛盾;(2