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:数列{xn}收敛的充要条件是:对于任意给定的正数ε,都存
在正整数 N ,使得当 m,n>N 时,有|xm-xn|<ε。
高等数学 函数的极限
高中公式性质:极限唯一性,局部有界性,局部保序性。
判别法则:
三角函数公式
1. 夹逼法则:若 limf ( x ) lim h ( x ) A ,且存在 x0 的某一去心邻域
和差角公式和差化积公式 x x00 x x

sin()  sin  cos  cos  sin  sin sin 2sin cos oo
22 ,使得,均有 f(x)≤g(x)≤h(x),则。
cos() cos  cos  sin  sin  U( x00 ,) x U ( x , ) limg ( x )  A
 xx 0
tg tg sin sin 2cos sin
tg() 22 :单调有界函数必收敛。
1 tg tg 柯西收敛准则:函数收敛的充要条件是: o
 3. f(x) ∀ε>0, ∃>0, ∀x’,x’’∈ Ux( ,) ,
ctg ctg 1 cos cos 2cos cos 0
ctg() 22
有|f(x’)-f(x’’)|<ε。
ctg ctg 
cos cos -2sin sin
22
4. 海涅(Heine) 归结原则: limf ( x ) A 的充要条件是:对于任何满足
积化和差公式倍角公式 xx 0
2 tan
sin 2 2sin  cos  2
1 tan 的数列{xn},都有。
limxxn  0 limf ( xn )  A
1 n n
sin cos [sin( )  sin( )] cos 2 2cos22  1  1  2sin 
2 2 归结原则对于验证函数在某点没有极限是较方便的,例如可以挑选一个
221 tan 
1 收敛于该点的自变量 x 的数列{xn},而相应的函数值数列{f(xn)}却不收敛;或
 cos sin  2
cos sin [sin( )  sin( )] 1 tan 者选出两个收敛于该点的数列{xn},{x’n},而相应的函数值数列{f(xn)},{f(xn)}
2 却具有不同的极限。
21tg ctg 2 
1 tg2 ctg 2
cos cos [cos( )  cos( )] 2 无穷小与无穷大
2 12 tg ctg
1 sin 3 3sin  4sin3 
sin sin [cos( )  cos( )] ()x 0
2 cos3 4cos3  3cos 若,当时,则称 x→x0 时称α(x) 是β(x) 的
lim  l l 0
xx 0 ()x 
3tg tg 3 
tg31
13 tg 2
半角公式高阶无穷小,记作(x ) o ( ( x ))

1 cos  1 cos 同阶无穷小,记作(x ) O ( ( x ))
sin cos 

2 2 2 2 等阶无穷小,记作(xx ) ~ ( )
1 cos  1 cos  sin 
tg 常用等价无穷小
2 1 cos sin  1 cos 
sinx tan x  arcsin x  arctan x  ex  1ln(1  x ) ~ x
1 cos  1 cos  sin 
ctg  1
2 1 cos sin  1 cos  1 cosx ~ x2 (1  x )ax  1 ~ ax  a  1 ~ x ln a
2
11
V =SH V = SH V = H(S+SS+S )
棱柱棱锥棱台 x 1
33 若 f(x=0), f’(0)≠0,则 f( t ) dt f(0) x2
0 2
球的表面积:4πR2 球的体积: 4 椭圆面积:πab 椭球的体积: 4 确定等价无穷小的方法:,
 R3  abc