非线性规划模型.doc

§,大量的问题是非线性的。因此,除线性规划外,应用更多的是非线性规划。本节简单介绍非线性规划的有关概念。图2-68引例如图2-68,预建一猪舍,围墙与隔墙的总长不能超过40米,问长、宽各多少时,面积最大?设长、宽分别是米、米时,问题即为下述优化问题:求易知,本问题的最优解是某企业生产一种产品,其生产要素(可以是某种原材料,也可以是劳力、资本等)(第种生产要素的投入量为时的产品产出量)一般为非线性函数,设给定产品的总产量为,第种生产要素的单位生产费用为,问如何安排生产成本最低?数学模型为:最优国民经济计划模型国民经济由个部门所组成,编号为,各部门间直接消耗的系数矩阵为,为第个部门生产价值一个单位的产品直接消耗部门产品的价值单位,,资金给定的前提下,如何安排各部门的资金数及劳力投入,可使国民收入最大?设表示第部门最终产品的总价值,则数学模型为确定经验公式-非线性回归分析设(,)()为实际问题中的一组数据,且与有关系,现求系数使得与数据组“最接近”。化为数学问题,即求一般地,(或称为条件极值问题)。,为二次函数,称上述问题为二次规划;,称上述问题为线性规划。称为约束条件,称为目标函数。-69约束集合首先我们知道,在平面上,一个不等式可确定一个区域。如:,表示上方部分;,。将所有不等式、等式确定的区域的公共部分称为约束集合。等高线图2-70对于目标函数,=取定值时,确定平面上一条曲线,而,取不同值为平面上一条曲线。对应于该曲线上的点,其函数值相同,称这些曲线为等高线。,时,这些同心圆半径为。随着圆的半径增大,圆上的函数值增大(如图2-69)。,半径为。随着圆的半径扩大,圆上的函数值变小。(见图2-70)。图2-(约束集合)如图2-71阴影部分,最优解为(0,0).解“猪舍问题”(例1)图2-72可行域即图2-72阴影部分,做出等高线,取,(如Lagrange乘数法)后可用最速下降法求解。求解无约束极值-多元函数极值min经典数学方法:令,解得驻点,是否极值点?看矩阵的正定性即可,从当矩阵正定时,在取极小;当矩阵负定时,在取极大。这种做法的困难是要解方程组;判定正定性。规划方法首先回顾梯度的性质:在给定点的负梯度即是函数在点下降最快的方向;时,梯度方向为曲线在的法向。最速下降法:我们假设稳定点又是最优点。给定初始点,若,则即为最优点;否则,,则按梯度意义,为下降最快的方向,沿方向,求,使(其中是的一元函数)。令,则(,特别取,有)从依次迭代即可得到最优解。步骤:取初始点;若,止;计算,求极值;令,,转2。。解:;2.;3.;4.;5.。故。-73用构造函数其中是一个很大的数。由的定义,及约束条件的集合为,故,由于时,及为很大的正数,故也是一个很大的正数。于是,当时,也是很大的数。我们称函数为罚函数,称为罚款项,称为罚因子。对于固定的,为的函数。下面求无条件约束问题的最优解。(可用最速下降法)设其最优解为。由于为很大的数,故无约束问题的最优解应满足条件。可以证明:的最优解为规划问题的最优解。这里取多大合适,我们事先不知道。但从上述结论,若对,的最优解,则为原规划问题的最优解。否则,,则说明不够大。从而取,再求解。依次下去,若求得的最优解,则为原问题的最优解。或与足够接近,如:,迭代停止。否则,令,继续上述步骤。这个方法称为罚函数方法。罚函数方法的实际意义:考虑我们购买中货物,对每种货物的采购量分别为,则我们把目标函数看成采购量分别为时,所需总钱数。约束集合,理解为某种“规定”。因此,非线性规划问题的经济意义为:在“规定”的范围内购物,使花钱最少。对于罚函数,的意义是:相对“规定”制定一种“罚款”政策。若符合规定(即),则罚款为0。若违反规定,则需交纳一笔正罚款(即罚款项)于是,罚函数即为采购的总代价。不难理解,当很大时,相当于对违反“规定”的采购规定了苛刻的罚款,这当然不合算。于是迫使我们在考虑总代价为最小时,要符合规定。在数学上表现为:当很大时,无约束极值问题的最优解应满足约束条件,即。:若为极值