成考专升本高等数学(二)重点及解析(精简版).doc

膁高等数学(二)重点知识及解析(占80分左右)***Ⅰ、函数、极限蚅一、基本初等函数(又称简单函数):肄(1)常值函数:(2)幂函数:(3)指数函数:(〉0,薀(4)对数函数:(〉0,袇(5)三角函数:,,,螇(6)反三角函数:,,,膂二、复合函数:要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。羀例如:是由,:是由,!蒅三、极限的计算荿1、利用函数连续性求极限(代入法):对于一般的极限式(即非未定式),只要将代入到函数表达式中,函数值即是极限值,即。莈注意:(1)常数极限等于他本身,与自变量的变化趋势无关,即。薅(2)该方法的使用前提是当的时候,而时则不能用此方法。薃例1:,,,,衿例2:腿例3:(非特殊角的三角函数值不用计算出来)蚇2、未定式极限的运算法螁(1)对于未定式:分子、分母提取公因式,然后消去公因式后,将代入后函数值即是极限值。薂例1:计算.………未定式,提取公因式衿解:原式=蒄例2:计算.………未定式,提取公因式肄解:原式===羁(2)对于未定式:分子、分母同时除以未知量的最高次幂,然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。虿例1:计算………未定式,分子分母同时除以n蒆解:原式………无穷大倒数是无穷小膂例2:计算.………未定式,分子分母同除以莁解:原式==………无穷大倒数是无穷小,因此分子是0分母是2肆3、利用等价无穷小的代换求极限薇(1)定义:设和是同一变化过程中的两个无穷小,如果=1,称与是等价无穷小,记作~.薄(2)定理:设、、、均为无穷小,又~,~,且存在螀则=或袆(3)常用的等价无穷小代换:当时,~,~莄例1:当时,~2,~蚃例2:极限===………用2等价代换艿例3:极限==………用等价代换薆Ⅱ、一元函数的微分学蒆一、导数的表示符号螁(1)函数在点处的导数记作:虿,或莇(2)函数在区间(a,b)内的导数记作:蒇,或膃二、求导公式(必须熟记)肈(1)(C为常数)(2)肇(3)(4)芄(5)(6)节(7)(8)螂例:1、=2、3、=袈4、5、6、莆三、导数的四则运算蚄运算公式(设U,V是关于X的函数,求解时把已知题目中的函数代入公式中的U和V即可,代入后用导数公式求解.)膁(1)薈(2)特别地(为常数)膃(3)螃例1:已知函数,:===芈例2:已知函数,:===袁所以=(注意:lne=1,ln1=0)肀例3:已知函数,:===羂四、复合函数的求导罿1、方法一:(1)(2)=,=2芅(3)每个简单函数导数的乘积即为复合函数的导数;∴=2=2蒀2、方法二(直接求导法):莈复合函数的导数等于构成该复合函数的简单函数导数的乘积。如果对导数公式熟悉,对复合函数的过程清楚,:设函数,:==·=·=薈例2:设函数,:==·=蒂注意:一个复合函数求几次导,取决于它由几个简单函数复合而成。虿五、高阶导数蚇1、二阶导数记作:,或***、求法:(1)二阶导数就是对一阶导数再求一次导螁(2)三阶导数就是对一阶导数求两次导,对二阶导求一次导聿例1:已知,:∵=,∴=羃例2:已知,:∵==,∴=2=4膈即=肅六、微分的求法:螀(1)(2):已知,:∵====薁∴=蚈例2:设函数,:∵==芅∴=芁Ⅲ、二元函数的微分学蝿一、多元函数的定义:由两个或两个以上的自变量所构成的函数,称为多元函数。其自变量的变化范围称为定义域,通常记作。袄例如:二元函数通常记作:,蚅二、二元函数的偏导数羂1、偏导数的表示方法:薇(1)设二元函数,则函数在区域D内对和对的偏导数记为:芆,,;,,肄(2)设二元函数,则函数在点处对和对的偏导数记为:螂,,;,,;蚈2、偏导数的求法莅(1)对求偏导时,只要将看成是常量,将看成是变量,(2)对求偏导时,只要将看成是常量,将看成是变量,,:已知函数,:=,=羃例2:已知函数, :=,=蒇三、全微分袅1、全微分公式:函数在点处全微分公式为:莂2、全微分求法:(1)、先求出两个一阶偏导数和.(2)、:设函数,:∵=,=羄∴螁例2:设函数,:∵=,=∴薀四、二阶偏导的表示方法和求法:芆(1)===