互动课堂(2.1.2 演绎推理).doc

互动课堂(2.1.2 演绎推理).doc互动课堂重难突破 ,,即由一般到特殊的推理过程,其推理形式为在推理形式中,不论任何具体概念代入S、M与P,只要代入后的前提是正确的,那么代入后的结论也是正确的,这表明在演绎推理中,从正确前提出发,运用正确的推理形式,就必然得出正确的结论.“三段论”《原本》就是一个典型的演绎系统,它从10条公理和公设出发,利用演绎推理,推出所有其它命题.像这种尽可能少地选取原始概念和一组不加证明的原始命题(公理、公设),以此为出发点,应用演绎推理,推出尽可能多的结论的方法,:利用尽可能少的前提,推出尽可能多的结论.演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式.演绎推理的主要形式,就是由大前提,,可以用以下公式来表示:三段论推理的根据,用集合论的观点来讲,就是:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的子集,那么S中所有元素都具有性质P.三段论的公式中包含三个判断:第一个判断称为大前提,它提供了一个一般的原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来,揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断——结论.例如,用三段论证明并指出每一步推理的大前提和小前提.图2-1-8 如图2-1-8所示,在锐角△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,:AB的中点M到D,E的距离相等.分析:解答题需要利用直角三角形斜边上的中线性质作为大前提.证明:(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形,大前提在△ABD中,AD⊥BC,即∠ADB=90°,小前提所以△同理,△AEB也是直角三角形.(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,大前提而M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线,小前提所以DM=同理,EM=,DM=就数学而言,演绎推理是证明数学结论、、证明思路等的发现过程,,我们不仅应当学会证明,也应当学会猜想.继《原本》之后,公理化方法广泛应用于自然科学、社会科学领域,例如牛顿以牛顿三定律为公理,运用演绎推理推出关于天体空间的一系列科学理论,,因而,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,、认清“三段论”的结构【例1】指出下面推理中的错误.(1)自然数是整数, 大前提-6是整数, 小前提所以-6是自然数; 结论(2)中国的大学分布于中国各地, 大前提北京大学是中国的大学, 小前提所以北京大学分布于中国各地. 结论解:(1)大、小前提中的“自然数”(P)与“-6”(S)都分别与“整数”(M)的一部分存在联系,这样“整数”(M)就不能起到联结“自然数”(M)与“-6”(S)的作用,因此不能使“自然数”(M)与“-6”(S)发生必然的确定关系.(2)这个推理的错误原因是“中国的大学”未保持同一,它在大前提中表示中国的各所大学,而在小前提中表示中国的一所大学.点评:三段论法的论断基础是这样一个公理:“凡肯定(或否定)了某一类对象的全部,也就肯定(或否定)了这一类对象的各部分或个体.”简言之,“全体概括个体.”M、P、S三个概念之间的包含关系表现为:如果概念P包含了概念M,则必包含了M中的任一概念S(如图2-1-9);如果概念M排斥概念P,则P必排斥M中的任一概念S(如图2-1-10).图2-1-9 图2-1-10弄清以上道理,才会使我们在今后的演绎推理中不犯(或少犯)错误.【例2】已知a、b∈R,求证:.证明:设f(x)=,x∈[0,+∞),x1、x2是[0,+∞)上的任意两个实数,且0≤x1<x2,f(x2)-f(x1)=-=.因为x2>x1≥0,所以f(x2)>f(x1).所以f(x)=在[0,+∞)上是增函数.(大前提)由|a|+|b|≥|a+b|≥0,(小前提)知f(|a|+|b|)≥f(|a+b|),即成立.点评:求证式的形式特点是解题思路的重要信息,对不等式两端进行化简是关键.二,应用三段论证明数学问题【例3】梯形的两腰和一底如果相等,(如图2-1-11),AB=DC=