二次微分方程的通解.doc

第六节二阶常系数齐次线性微分方程教学目的:使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点:二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程:一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:方程y¢¢+py¢+qy=0称为二阶常系数齐次线性微分方程,其中p、、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解,那么y=C1y1+,能否适当选取r,使y=erx满足二阶常系数齐次线性微分方程,为此将y=erx代入方程y¢¢+py¢+qy=0得(r2+pr+q)erx=,只要r满足代数方程r2+pr+q=0,函数y=:方程r2+pr+q=0叫做微分方程y¢¢+py¢+qy=、:(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时,函数、,函数、是方程的解,.(2)特征方程有两个相等的实根r1=r2时,函数、,是方程的解,又,所以也是方程的解,.(3)特征方程有一对共轭复根r1,2=a±ib时,函数y=e(a+ib)x、y=e(a-ib)=eaxcosbx、y==e(a+ib)x和y2=e(a-ib)x都是方程的解,而由欧拉公式,得y1=e(a+ib)x=eax(cosbx+isinbx),y2=e(a-ib)x=eax(cosbx-isinbx),y1+y2=2eaxcosbx,,y1-y2=2ieaxsinbx,.故eaxcosbx、y2=,y1=eaxcosbx、y2==eax(C1cosbx+C2sinbx).求二阶常系数齐次线性微分方程y¢¢+py¢+qy=0的通解的步骤为:第一步写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0第二步求出特征方程的两个根r1、,¢¢-2y¢-3y=-2r-3=0,即(r+1)(r-3)==-1,r2=3是两个不相等的实根,因此所求通解为y=C1e-x+¢¢+2y¢+y=0满足初始条件y|x=0=4、y¢|x=0=-+2r+1=0,即(r+1)2==r2=-1是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-|x=0=4代入通解,得C1=4,从而y=(4+C2x)e-,得y¢=(C2-4-C2x)e-¢|x=0=-2代入上式,得C2==(4+2x)e-¢¢-2y¢+5y=-2r+5==1+2i,r2=1-2i,是一对共轭复根,因此