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典例剖析(第四课时).doc

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[例1]空间四边形ABCD中,若AB⊥CD,BC⊥AD,求证:AC⊥::AC是平面BCD的斜线,为证明BD⊥AC,要找到AC在平面BCD内的射影,—74证明:如图9—74,作AO⊥平面BCD于O,则BO为AB在平面BCD内的射影.∵AB⊥CD∴BO⊥CD同理DO⊥BC,所以O为△BCD的垂心,连结CO∴CO⊥BD∵CO为AC在平面BCD内的射影∴AC⊥BD[例2]Rt△ABC在平面α内,点P在平面α外,若P到直角顶点C的距离为24,则到两直角边的距离均为,:考查三垂线定理或逆定理、—75解:如图9—75,过P作PO⊥平面α于O,连结CO,则∠PCO为PC与α所成的角,作OD⊥⊥BC于E,连结PD和PE.∴PD⊥AC,PE⊥BC∵PD=PE=∴OD=OE∵∠ACB=90°∴CDOE为正方形.∵PC=24因此,PC与平面α所成之角为30°.[例3]在空间四边形PABC中,PA⊥平面BAC,AC⊥BC,若A在PB、PC上的射影分别是E、F,求证:EF⊥:考查三垂线定理和逆定理的灵活运用,它是证明空间两直线垂直时经常使用的,—76证明:∵PA⊥平面ABC∴PA⊥BC又∵AC⊥BC,PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC,而AF面PAC∴BC⊥AF又∵F是点A在PC的射影∴AF⊥PC∴AF⊥平面PBC∴AE在平面PBC的射影为EF又∵E为A在PB的射影∴AE⊥PB由三垂线逆定理知EF⊥PB.

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