圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型.doc

螃2017届高三第一轮复****专题训练之肃圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型莇定点问题是常见的出题形式,化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法,是设出直线方程,通过韦达定理和已知条件找出k和m的一次函数关系式,代入直线方程即可。技巧在于:设哪一条直线?如何转化题目条件?圆锥曲线是一种很有趣的载体,自身存在很多性质,这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论,那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型:蚆模型一:“手电筒”模型芃例题、(07山东)已知椭圆C:若直线与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证:直线过定点,并求出该定点的坐标。薀解:设,由得,荿,螄以AB为直径的圆过椭圆的右顶点且,莈,,肆,膆整理得:,解得:,且满足袃当时,,直线过定点与已知矛盾;肁当时,,直线过定点螆综上可知,直线过定点,定点坐标为羃◆方法总结:本题为“弦对定点张直角”的一个例子:圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB,则AB必过定点。(参考百度文库文章:“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”)肁◆模型拓展:本题还可以拓展为“手电筒”模型:只要任意一个限定AP与BP条件(如定值,定值),直线AB依然会过定点(因为三条直线形似手电筒,固名曰手电筒模型)。(参考优酷视频资料尼尔森数学第一季第13节)蒁此模型解题步骤:薇Step1:设AB直线,联立曲线方程得根与系数关系,求出参数范围;肅Step2:由AP与BP关系(如),得一次函数;莃Step3:将代入,得。羀◆迁移训练芇练****1:过抛物线M:上一点P(1,2)作倾斜角互补的直线PA与PB,交M于A、B两点,求证:直线AB过定点。(注:本题结论也适用于抛物线与双曲线)膆练****2:过抛物线M:的顶点任意作两条互相垂直的弦OA、OB,求证:直线AB过定点。(经典例题,多种解法)蒂练****3:过上的点作动弦AB、AC且,证明BC恒过定点。(本题参考答案:)荿练****4:设A、B是轨迹:上异于原点的两个不同点,直线和的倾斜角分别为和,当变化且时,证明直线恒过定点,并求出该定点的坐标。(参考答案)肇【答案】设,由题意得,又直线OA,OB的倾斜角满足,故,所以直线的斜率存在,否则,OA,OB直线的倾斜角之和为从而设AB方程为,显然,袄将与联立消去,得袄由韦达定理知①蝿由,得1===螈将①式代入上式整理化简可得:,所以,羅此时,:(2013年高考陕西卷(理))已知动圆过定点A(4,0),(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;肆(Ⅱ)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是的角平分线,【答案】解:(Ⅰ)A(4,0),设圆心C袂(Ⅱ)点B(-1,0),:蒃所以,直线PQ过定点(1,0)莁练****6:已知点是平面上一动点,且满足罿(1)求点的轨迹对应的方程;袅(2)已知点在曲线上,过点作曲线的两条弦和,且,判断:直线是否过定点?【解】(1)设(5分)螀)蒅羆第22题练****7:已知点A(-1,0),B(1,-1)和抛物线.,O为坐标原点,过点A的动直线l交抛物线C于M、P,直线MB交抛物线C于另一点Q,(I)证明:为定值;膀(II)若△POM的面积为,求向量与的夹角;芆(Ⅲ):(I)设点、M、A三点共线,肂(II)设∠POM=α,则蕿由此可得tanα=(Ⅲ)设点、B、Q三点共线,膁即肈即螆由(*)式,代入上式,得袇由此可知直线PQ过定点E(1,-4).薃模型二:切点弦恒过定点蒈例题:有如下结论:“圆上一点处的切线方程为”,类比也有结论:“椭圆处的切线方程为”,过椭圆C:的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线,切点为A、(1)求证:直线AB恒过一定点;蚄(2)当点M在的纵坐标为1时,求△ABM的面积。蚁【解】(1)设M膁∵点M在MA上∴①同理可得②***由①②知AB的方程为蚅易知右焦点F()满足③式,故AB恒过椭圆C的右焦点F()肄(2)把AB的方程薁∴又M到AB的距离羇∴△ABM的面积蒃◆方法点评:切点弦的性质虽然可以当结论用,但是在正式的考试过程中直接不能直接引用,可以用本题的书写步骤替换之,大家注意过程。膂◆方法总结:什么是切点弦?解题步骤有哪些?羀参考:PPT圆锥曲线的切线及切点弦方程,百度文库蚈参考:“尼尔森数学第一季_3下”,优酷视频薄拓展:相交弦的蝴蝶特征——蝴蝶定理,资料芁练****1:(2013年广东省数学(理)