圆锥曲线的性质.doc

螃圆锥曲线的性质膂一、基础知识蚈(一)椭圆:肅1、定义和标准方程:袅(1)平面上到两个定点的距离和为定值(定值大于)的点的轨迹称为椭圆,其中称为椭圆的焦点,称为椭圆的焦距芀(2)标准方程:肈①焦点在轴上的椭圆:设椭圆上一点,,设距离和,则椭圆的标准方程为:,其中螆②焦点在轴上的椭圆:设椭圆上一点,,设距离和,则椭圆的标准方程为:,其中蚂焦点在哪个轴上,则标准方程中哪个字母的分母更大薂2、椭圆的性质:以焦点在轴的椭圆为例:蒇(1):与长轴的顶点有关:,称为长轴长蒆:与短轴的顶点有关:,称为短轴长蚃:与焦点有关:,称为焦距螁(2)对称性:椭圆关于轴,轴对称,且关于原点中心对称羇(3)椭圆上点的坐标范围:设,则芇(4)通径:焦点弦长的最小值螅①焦点弦:椭圆中过焦点的弦衿②过焦点且与长轴垂直的弦蚀说明:假设过,且与长轴垂直,则,所以,可得。则羇(5)离心率:,因为,所以薂(6)焦半径公式:称到焦点的距离为椭圆的焦半径膂①设椭圆上一点,则(可记为“左加右减”)聿②焦半径的最值:由焦半径公式可得:焦半径的最大值为,最小值为螇(7)焦点三角形面积:(其中)薃证明:莀且葿因为,所以,由此得到的推论:膄①的大小与之间可相互求出蚅②的最大值:最大最大最大为短轴顶点蚂(二)双曲线:袈1、定义:平面上到两个定点距离差的绝对值为一个常数(小于)的点的轨迹称为双曲线,其中称为椭圆的焦点,称为椭圆的焦距;如果只是到两个定点距离差为一个常数,则轨迹为双曲线的一支羄2、标准方程:蒂①焦点在轴:设双曲线上一点,,设距离差的绝对值,则双曲线标准方程为:,其中螁②焦点在轴:设双曲线上一点,,设距离差的绝对值,则双曲线标准方程为:,其中莇焦点在哪个轴上,则对应字母作为被减数蚄2、双曲线的性质:以焦点在轴的双曲线为例:薄(1):与实轴的顶点有关:,称为实轴长衿:与虚轴的顶点有关:,称为虚轴长螇:与焦点有关:,称为焦距蒅(2)对称性:双曲线关于轴,轴对称,且关于原点中心对称薅(3)双曲线上点坐标的范围:设,则有或,芁(4)离心率:,因为,所以膆(5)渐近线:当或时,双曲线在向两方无限延伸时,会向某条直线无限靠近,但不相交,则称这条直线为曲线的渐近线。膅①双曲线渐近线的求法:无论双曲线的焦点位于哪条轴上,只需让右侧的1变为0,再解出关于的直线即可。例如在中,求渐近线即解:,变形为,所以即为双曲线的渐近线莂②渐近线的几何特点:直线所围成的矩形,其对角线即为双曲线的渐近线莀③渐近线的作用:一是可以辅助作出双曲线的图像;二是渐近线的斜率也能体现的关系。袀(6)通径:羅①内弦:双曲线同一支上的两点连成的线段外弦:双曲线两支上各取一点连成的线段蒄②通径:过双曲线焦点的内弦中长度的最小值,此时弦轴,螂(7)焦半径公式:设双曲线上一点,左右焦点分别为,则艿①(可记为“左加右减”)莂②由焦半径公式可得:双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点,距离为羇(8)焦点三角形面积:设双曲线上一点,则(其中)蚆(三)抛物线:蒄1、定义:平面内到一定点的距离等于到一条定直线(定点不在定直线上)的距离的点的轨迹为抛物线膂2、抛物线的标准方程及焦点位置:肈(1)焦点在轴正半轴:,焦点坐标螅(2)焦点在轴负半轴:,焦点坐标袄(3)焦点在轴正半轴:,焦点坐标袃(4)焦点在轴负半轴:,焦点坐标肀小结:通过方程即可判断出焦点的位置与坐标:那个字母是一次项,则焦点在哪条轴上;其坐标为一次项系数除以4,例如:,则焦点在轴上,且坐标为肇3、焦半径公式:设抛物线的焦点为,,则莃4、焦点弦长:设过抛物线焦点的直线与抛物线交于,则(,再由焦半径公式即可得到)蚃二、典型例题:袇例1:已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于():先从常系数方程入手,抛物线的焦点为,即双曲线中的,所以,从而双曲线方程为:,其渐近线方程:,由对称性可得焦点到两渐近线的距离相等,不妨选择,右焦点,所以莃答案:A罿小炼有话说:(1)一道题含多个圆锥曲线方程,往往以某些特殊点(焦点,顶点)为桥梁联接这些方程,在处理时通常以其中一个曲线方程(不含参)为入手点,确定特殊点的坐标,进而解出其他圆锥曲线的要素薈答案:A蒆例2:已知双曲线的实轴长为,虚轴的一个端点与抛物线的焦点重合,直线与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行,则():本题涉及圆锥曲线和字母较多,所以首先要确定核心变量,从所求出发可尝试以作为核心变量,抛物线的焦点为,所以可得,因为,所以双曲线方程为,可求得渐近线方程为,不妨设与平行,则有。从相切可想到与抛物线联立消元后的方程:,所以解得蚆答案:A袅例3:如图,是椭圆与双曲线的公共焦点,将的离心率分别记为,点是在第一象限的公共点,若的一条渐近线是线段的中垂线,则()薀A.