圆锥曲线的经典结论.doc

蚀有关解析几何的经典结论羇一、椭圆袆点处的切线平分在点处的外角.(椭圆的光学性质)芁平分在点处的外角,则焦点在直线上的射影点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.(中位线)聿以焦点弦为直径的圆必与对应准线相离.(第二定义)螇以焦点半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.(第二定义)蚃若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是.(求导或用联立方程组法)薄若在椭圆外,则过作椭圆的两条切线切点为,()的左右焦点分别为,点为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点角形的面积为.(余弦定理+面积公式+半角公式)蒈椭圆()的焦半径公式:蚅,(,,).(第二定义)蚂设过椭圆焦点作直线与椭圆相交两点,为椭圆长轴上一个顶点,连结和分别交相应于焦点的椭圆准线于两点,:,芈,螆,螁,,薁易得:羈过椭圆一个焦点的直线与椭圆交于两点,且为椭圆长轴上的顶点,和交于点,和交于点,则.(其实就在准线上,下面证明他在准线上)薄证明:首先证明准线,和公共点,膃设,,不妨设,肁,,蝿由,薅得交点,由,芁得,令,蒀,,,,葿,,则,蚆再根据上一条性质可得结论。蚄是椭圆的不平行于对称轴的弦,为的中点,则,衿即。 (点差法)腿若在椭圆内,(点差法)螂若在椭圆内,(点差法)蚆二、双曲线蒅点处的切线平分△在点处的内角.(同上)袀平分△在点处的内角,则焦点在直线上的射影点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.(同上)螈以焦点弦为直径的圆必与对应准线相交.(同上)蒆以焦点半径为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:在右支;外切:在左支)薆(同上)芃若在双曲线()上,则过的双曲线的切线方程是:.(同上)蒂若在双曲线()外,则过作双曲线的两条切线切点为,则切点弦的直线方程是.(同上)***双曲线()的左右焦点分别为,点为双曲线上任意一点:,则双曲线的焦点角形的面积为.(同上)莄双曲线()的焦半径公式:,莁当在右支上时,,.袁当在左支上时,,(同上)羇设过双曲线焦点作直线与双曲线相交、两点,为双曲线长轴上一个顶点,连结和分别交相应于焦点的双曲线准线于、两点,则.(同上)蒅过双曲线一个焦点的直线与双曲线交于两点、,且为双曲线实轴上的顶点,和交于点,和交于点,则.(同上)螄是双曲线(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则,即。(同上)芀若在双曲线()内,则被所平分的中点弦的方程是:.(同上)蚇若在双曲线()内,则过的弦中点的轨迹方程是:.(同上)蒇椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)袂椭圆螀椭圆的两个顶点为,,与轴平行的直线交椭圆于时,:,,交点,由,得,芄又,则芄过椭圆上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于两点,则直线有定向且(常数).腿证明:膈若为椭圆上异于长轴端点的任一点,、是焦点,,,(代数)莃证法二(几何)薈设椭圆的两个焦点为、,(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△中,记,,,(上条已证)莇若椭圆的左、右焦点分别为、,左准线为,则当时,可在椭圆上求一点,,、是焦点,为椭圆内一定点,则,当且仅当三点共线时,,O为坐标原点,、为椭圆上两动点,(1);袄(2)|OP|2+|OQ|2的最大值为;蚁(3),弦的垂直平分线交轴于,,是椭圆上的两点,线段的垂直平分线与轴相交于点,,、是焦点,记,则(1).(2).芇设是椭圆的长轴两端点,是椭圆上的一点,,,,分别是椭圆的半焦距离心率,则有:莄(1).薀(2).薆(3).肄已知椭圆的右准线与轴相交于点,过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点,点在右准线上,且轴,,与以长轴为直径的圆相交,,,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数(离心率).荿(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)肇(角分线定理+合比公式)芇椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比.(角分线定理)羃椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.(角分线定理)袈双曲线袇双曲线()的两个顶点为,,与轴平行的直线交双曲线于时,()上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于两点,则直线有定向且