圆锥曲线知识点总结(绝对物超所值).doc

(1)椭圆概念蒁平面内与两个定点、的距离的和等于常数2(大于)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点,则有。螆椭圆的标准方程为:()(焦点在x轴上)或()(焦点在y轴上)。蚄注:①以上方程中的大小,其中;莂②在和两个方程中都有的条件,要分清焦点的位置,只要看和的分母的大小。例如椭圆(,,)当时表示焦点在轴上的椭圆;当时表示焦点在轴上的椭圆。芈(2)椭圆的性质腿①范围:由标准方程知,,说明椭圆位于直线,所围成的矩形里;肃②对称性:在曲线方程里,若以代替方程不变,所以若点在曲线上时,点也在曲线上,所以曲线关于轴对称,同理,以代替方程不变,则曲线关于轴对称。若同时以代替,代替方程也不变,则曲线关于原点对称。肂所以,椭圆关于轴、轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心;艿③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令,得,则,是椭圆与轴的两个交点。同理令得,即,是椭圆与轴的两个交点。芇所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。螇同时,线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为和,和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。袃由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为;在中,,,,且,即;莁④离心率:椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。∵,∴,且越接近,就越接近,从而就越小,对应的椭圆越扁;反之,越接近于,就越接近于,从而越接近于,这时椭圆越接近于圆。当且仅当时,,两焦点重合,图形变为圆,方程为。(1)双曲线的概念薃平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线()。膈注意:①式中是差的绝对值,在条件下;时为双曲线的一支;时为双曲线的另一支(含的一支);②当时,表示两条射线;③当时,不表示任何图形;④两定点叫做双曲线的焦点,叫做焦距。薄椭圆和双曲线比较:莁聿椭圆羆双曲线蚂定义螁螀羇方程羄芀薀螄膃焦点虿肆袆芁聿注意:如何用方程确定焦点的位置!螇(2)双曲线的性质袇①范围:从标准方程,看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线的外侧。即,即双曲线在两条直线的外侧。薄②对称性:双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。螂③顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里,对称轴是轴,所以令得,因此双曲线和轴有两个交点,他们是双曲线的顶点。令,没有实根,因此双曲线和y轴没有交点。1)注意:双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点),双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2)实轴:线段叫做双曲线的实轴,它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴:线段叫做双曲线的虚轴,它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。④渐近线:注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看,双曲线的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近。⑤等轴双曲线:1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式:;2)等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为:;(2)渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一,即可推知双曲线为等轴双