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西安理工大学
数学建模选拔赛
基于导弹发射问题的数学模型
摘要
 对于问题1,本文用数理方程的知识建立了二维平面上的导弹追逐模型。利用在任何时刻导弹的飞行方向指向敌机的位置得出微分方程和初值条件,并经过严格的数学公式推导求解出导弹追踪敌机的轨迹方程
发射I型空对空导弹击毁敌机的条件:vt ≤M。(t为变量)
对于问题2,由于导弹是来自地面所以用数理方程的知识建立了三维空间上的导弹追逐模型,并把该三维空间上的导弹追逐问题转化为二维平面上的导弹追逐问题,运用问题1的解决方法求解得出II型地对空导弹追踪敌机的轨迹方程:
导弹击毁敌机的条件同样为:vt ≤M。(t为变量)
对于问题3,我们用C++语言编程时采用的是Euler、中点、R-K、Adams法,由程序运行可得结果:t = ,x =-004,y =。
对于问题4,我们用概率论的知识构建了一个指数分布的密度函数,用于求导弹击毁敌机的概率。
关键词导弹发射决策问题追逐问题数学模型
 
一、问题重述
1、我防空指挥部的雷达发现有一架来路不明的飞机,经分析确认是一架敌机后,即命令正处在指挥部上空处于同一高度进行巡逻的我方战斗机发射I型空对空追踪导弹将其击毁(追踪导弹可针对目标随时自动调节追踪方向)。假定雷达发现敌机时,该机正位于我防空指挥部正东N公里高空处,并欲在同一高度上向位于其正北方向M公里处的安全区逃窜(由于电子干扰的作用,,无法将其击毁)。在适当的假设下,确定导弹追踪敌机的轨迹及发射I型空对空导弹击毁敌机的条件。
2、若当时命令设在防空指挥部的地面导弹基地发射II型地对空追踪导弹截击敌机,假定敌机始终距地面高度为h公里飞行,其他假定同情况1中所述,重新确定此时II型地对空导弹追踪敌机的轨迹及击毁敌机的条件。
3、若敌机的飞行速度 v 、其位置 N 和追踪导弹速度 u 均为给定的常数;针对情况1中敌机被导弹击中的条件下,给出一个计算机编程的算法及相关程序,以计算出敌机被击中的时刻以及当时敌机的位置。据此,在 v = 1 马赫数, N = 100公里, u = 2马赫数时,利用上述的程序算出具体敌机被击中的时刻以及当时敌机被击毁的位置。(其中1 马赫数=1126公里/小时)
4、若追踪轨迹确定时,导弹击毁敌机还存在随机性,导弹飞行的路程越长,其击毁敌机的概率越小,试重新讨论情况1中的问题。
二、模型的假设
(1)中导弹与敌机的轨迹高度始终不变即在同一平面内。
(2)导弹飞行的轨迹切线方向始终指向敌机
(3)导弹与敌机的速率恒定。
(4)相对几百千米的路程导弹与敌机的长度可以忽略,均可看成物理质点。
三、符号说明
v:敌机逃窜时的飞行速度;
u:追踪导弹的速度;
M:安全区与y轴的交点;
N:敌机最开始所在位置;
t: 导弹追上敌机的时间;
s(t):导弹追踪轨迹的弧长;
x(t): 导弹与Y轴的距离;
y(t): 导弹与X轴的距离;
h(t): 导弹飞行时与地面的高度;
k: 导弹追踪轨迹的弧长的切线斜率;
:导弹追击轨迹切线和x轴的夹角
h: 敌机飞行时与地面的距离;
C:常数
四、问题分析
问题1的分析:
由于我方导弹发射点与敌机处于同一高度,故敌