《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案（基础知识+高频考点+解题训练）基本不等式（含解析）.doc

第四节基本不等式
[知识能否忆起]
一、基本不等式≤
:a>0,b>0.
:当且仅当a=b时取等号.
二、几个重要的不等式
a2+b2≥2ab(a,b∈R);+≥2(a,b同号).
ab≤2(a,b∈R);2≤(a,b∈R).
三、算术平均数与几何平均数
设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
四、利用基本不等式求最值问题
已知x>0,y>0,则:
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2.(简记:积定和最小)
(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是.(简记:和定积最大)
[小题能否全取]
1.(教材习题改编)函数y=x+(x>0)的值域为( )
A.(-∞,-2]∪[2,+∞) B.(0,+∞)
C.[2,+∞) D.(2,+∞)
解析:选C ∵x>0,∴y=x+≥2,当且仅当x=1时取等号.
>0,n>0,且mn=81,则m+n的最小值为( )


解析:选A ∵m>0,n>0,∴m+n≥2==n=9时,等号成立.
3.(教材习题改编)已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为( )
A. B.
C. D.
解析:选B 由x(3-3x)=×3x(3-3x)≤×=,当且仅当3x=3-3x,即x=时等号成立.
>1,则x+的最小值为________.
解析:x+=x-1++1≥4+1=5.
当且仅当x-1=,即x=3时等号成立.
答案:5
>0,y>0,lg x+lg y=1,则z=+的最小值为________.
解析:由已知条件lg x+lg y=1,可得xy=10.
则+≥2 =2,故min=2,当且仅当2y==10,即x=2,y=5时等号成立.
答案:2
,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误.
+b≥2,ab≤2,要弄清它们的作用和使用条件及内在联系,两个公式也体现了ab和a+b的转化关系.
,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如a2+b2≥2ab逆用就是ab≤;≥(a,b>0)逆用就是ab≤2(a,b>0)“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等.
利用基本不等式求最值
典题导入
[例1] (1)已知x<0,则f(x)=2++x的最大值为________.
(2)(2012·浙江高考)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( )
A. B.

[自主解答] (1)∵x<0,∴-x>0,
∴f(x)=2++x=2-.
∵-+(-x)≥2=4,当且仅当-x=,即x=-2时等号成立.
∴f(x)=2-≤2-4=-2,
∴f(x)的最大值为-2.
(2)∵x>0,y>0,由x+3y=5xy得=1.
∴3x+4y=·(3x+4y)·==+≥+×2=5(当且仅当x=2y时取等号),∴3x+4y的最小值为5.
[答案] (1)-2 (2)C
本例(2)条件不变,求xy的最小值.
解:∵x>0,y>0,则5xy=x+3y≥2,
∴xy≥,当且仅当x=3y时取等号.
∴xy的最小值为.
由题悟法
用基本不等式求函数的最值,关键在于将函数变形为两项和或积的形式,,一种方法是消元,转化为函数最值;另一种方法是将要求最值的表达式变形,然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值,但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件.
以题试法
1.(1)当x>0时,则f(x)=的最大值为________.
(2)(2011·天津高考)已知log2a+log2b≥1,则3a+9b的最小值为________.
(3)已知x>0,y>0,xy=x+2y,若xy≥m-2恒成立,则实数m的最大值是________.
解析:(1)∵x>0,∴f(x)==≤=1,
当且仅当x=,即x=1时取等号.
(2)由log2a+log2b≥1得log2(ab)≥1,
即ab≥2,∴3a+9b=3a+32b≥2×3(当且仅当3a=32b,即a=2b时取等号).
又∵a+2b≥2≥4(当且仅当a=2b时取等号),
∴3a+9b≥2×32=18.
即当a=2b时,3a+9b有最小值18.
(3)由x>