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高考递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。
类型1. 
解法:把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法)求解。
例:已知数列满足,,求。
解:由条件知:
分别令,代入上式得个等式累加之,即

所以
,
变式:(2004,全国I,)
已知数列,且a2k=a2k-1+(-1)k,   a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….
(I)求a3, a5;
(II)求{ an}的通项公式.
解:∵,
∴,即
∴,

……  ……

将以上k个式子相加,得

将代入,得
,
。
经检验也适合,∴
类型2.  
 解法:把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例1:已知数列满足,,求。
解:由条件知,分别令,代入上式得个等式累乘之,即

又,
例2:已知, ,求。
解:
。
例3:(2004,全国I,理15.)已知数列{an},满足a1=1, (n≥2),
则{an}的通项  
解:由已知,得,用此式减去已知式,得
当时,,即,又,
,将以上n个式子相乘,得
类型3.(其中p,q均为常数,)。
解法(待定系数法):把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。
例1:已知数列中,,,求.
解:设递推公式可以转化为即.
故递推公式为,令,则,且.
所以是以为首项,2为公比的等比数列,则,所以.
例2:(2006,重庆,文,14)
在数列中,若,则该数列的通项=_____(key:)
例3:(.)
已知数列满足
(I)求数列的通项公式;
(II)若数列{bn}滿足证明:数列{bn}是等差数列;
(Ⅲ)证明:
(I)解:

是以为首项,2为公比的等比数列 

即
(II)证法一:
①
②
②-①,得
即
③-④,得
即
是等差数列 
证法二:同证法一,得,令得
设下面用数学归纳法证明
(1)当时,等式成立 
(2)假设当时,那么

这就是说,当时,等式也成立 
根据(1)和(2),可知对任何都成立 
是等差数列 
(III)证明:




变式:递推式:。解法:只需构造数列,消去带来的差异.
类型4.(其中p,q均为常数,)。(或,其中p,q, r均为常数)。
解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以,得:引入辅助数列(其中),得:再待定系数法解决。
例1:已知数列中,,,求。
解:在两边乘以得:
令,则,解之得:
所以
例2:(2006,全国I,理22)
设数列的前项的和,
(Ⅰ)求首项与通项;(Ⅱ)设,,证明:
解:(I)当时,;
当时,,
即,利用(其中p,q均为常数,)。
(或,其中p,q,  r均为常数)的方法,解之得:
(Ⅱ)将代入①得
Sn= ×(4n-2n)-×2n+1 + = ×(2n+1-1)(2n+1-2)= ×(2n+1-1)(2n-1)
Tn== ×=×(-)
所以, = -)= ×(-)<
(其中p,q均为常数)。
解法一(待定系数法):先把原递推公式转化为
其中s,t满足
解法二(特征根法):[这是新补充的方法,仅供学有余力的同学用]
对于由递推公式,给出的数列,
方程,叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根,
当时,数列的通项为,其中A,B由决定
(即把和,代入,得到关于A、B的方程组);
当时,数列的通项为,其中A,B由决定
(即把和,代入,得到关于A、B的方程组)。
解法一(待定系数——迭加法):
数列:,,求数列的通项公式。
由,得,
且,则数列是以为首项,为公比的等比数列,于是
。把代入,得
,
,
,
……
。
把以上各式相加,得
。
。
解法二(特征根法):[补充的方法,供学有余力的同学看]
数列:,的特征方程是:。
,
∴。
又由,于是
故
例1:已知数列中,,,,求。
解:由可转化为
即或
这里不妨选用(当然也可选用,大家可以试一试),
则是以首项为,公比为的等比数列,
所以,应用类型1的方法,分别令,代入上式得个等式累加之,
即