求解通项公式的常用方法.doc

求解数列通项公式的常用方法数列是高考中的重点内容之一,每年的高考题都会考察到,小题一般较易,大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式,在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。观察法(猜想法)由数列的前几项的特点观察猜想出数列的通项公式,关键是找出各项与项数n的关系。例1:根据数列的前4项,写出它的一个通项公式:(1)9,99,999,9999,…(2)(3)(4)(5))析:(1)(2)(3)(4).(5)二、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,,前n项和为,且成等比数列,.:设数列公差为∵成等比数列,∴,即∵,∴………………………………①∵∴…………②由①②得:,∴点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写出通项。三、   累加法   (叠加法) 求形如(f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列)的数列通项,可用累加法,即令n=2,3,…n—1得到n—1个式子累加求得通项。例3已知数列满足,求数列的通项公式。解:由得则评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出所以数列的通项公式为。即得数列的通项公式。四、累积法(叠乘法)对形如的数列的通项,可用累乘法,即令n=2,3,…n—1得到n—1个式子累乘求得通项。例4:在数列{}中,=1,(n+1)·=n·,求的表达式。解:由(n+1)·=n·得,即=··…=所以五、公式法:若已知数列的前项和与的关系,求数列的通项可用公式求解。(注意:是否需要验证n=1时结论是否成立)例5:已知下列两数列的前n项和sn的公式,求的通项公式。(1)。(2)解:(1)时时,===3此时,满足上式。∴=3为所求数列的通项公式。(2))时,当时由于不适合于此等式。∴注意要先分n=1和两种情况分别进行运算,然后验证能否统一。例6设数列满足解析:=1,前n项和Sn满足关系求证:数列是等比数列。解析:因为所以所以,数列是等比数列。例8、数列的前n项和为sn,且满足求证:成等差数列;(2)求数列的通项公式(1)证明:(2)解:由(1)得六、构造等差或等比数列法 有些数列本身并不是等差或等比数列,但可以经过适当的变形,构造出一个新的数列为等差或等比数列,从而利用这个数列求其通项公式。1、形如其中p,q均为常数解法:这种类型一般是等式两边取倒数后转化为例8:已知数列满足,求证:是等差数列,并求的通项公式。解:,,即 是首项为1,公差为3的等差数列。.3、形如(其中p,q均为常数,)。解法(待定系数法):把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。例10:已知数列中,,,:,令,则,,2为公比的等比数列,则,、研究;不得用于商业用途。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;、研究;不得用于商业用途。NurfürdenpersönlichenfürS