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求递推数列的通项公式的十一种方法(包含特征根和不动点) (2).doc


文档分类:高等教育 | 页数:约10页 举报非法文档有奖
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Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;mercialuse求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式,,、{}中,,,:原递推式可化为:则,……,逐项相加得:.、作商求和法例2设数列{}是首项为1的正项数列,且(n=1,2,3…),则它的通项公式是=▁▁▁(2000年高考15题)解:原递推式可化为:=0∵>0,则……,逐项相乘得:,即=.三、换元法例3已知数列{},其中,且当n≥3时,,求通项公式(1986年高考文科第八题改编).解:设,原递推式可化为:是一个等比数列,,:.例4已知数列{},其中,且当n≥3时,,求通项公式。解由得:,令,则上式为,因此是一个等差数列,,.。由于又所以,即四、积差相消法例5(1993年全国数学联赛题一试第五题)设正数列,,…,,…满足=且,:设=,则=1,,故有⑴⑵…………()由⑴+⑵+…+()得=,即=.逐项相乘得:=,考虑到,、取倒数法例6已知数列{}中,其中,且当n≥2时,,求通项公式。解将两边取倒数得:,这说明是一个等差数列,首项是,公差为2,所以,、取对数法例7若数列{}中,=3且(n是正整数),则它的通项公式是=▁▁▁(2002年上海高考题).解由题意知>0,将两边取对数得,即,所以数列是以=为首项,公比为2的等比数列,,、平方(开方)法例8若数列{}中,=2且(n),。数列{}是以=4为首项,3为公差的等差数列。。因为>0,所以。八、待定系数法待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列,:1、(A、B为常数)型,可化为=A(){}中,=1,是数列{}的前项之和,且(n),求数列{}(1)设(1)式可化为(2)比较(1)式与(2)式的系数可得,则有。故数列{}是以为首项,3为公比的等比数列。=。所以。当n,。数列{}的通项公式是。2、(A、B、C为常数,下同)型,可化为=){}中,求通项公式。解:原递推式可化为:①比较系数得=-4,①式即是:.则数列是一个等比数列,其首项,公比是2.∴、型,可化为的形式。例11在数列{}中,,当,①:①式可化为:比较系数得=-3或=-2,不妨取=-2.①式可化为:则是一个等比数列,首项=2-2(-1)=4,公比为3.∴.利用上题结果有:.4、型,可化为的形式。例12在数列{}中,,=6①①式可化为:②比较系数可得: =-6,,②式为 是一个等比数列,首项,公比为.∴、猜想法运用猜想法解题的一般步骤是:首先利用所给的递推式求出……,然后猜想出满足递推式的一个通项公式,最后用数学归纳法证明猜想是正确的。例13在各项均为正数的数列中,为数列的前n项和,=+,求其通项公式。求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如是常数)的数列形如是常数)的二阶递推数列都可用特征根法

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  • 时间2019-06-19