求锐角三角函数值的策略.doc

求锐角三角函数值的策略求锐角三角函数值是锐角三角形函数的重要内容,求锐角三角函数值的方法较多,解决时,要根据不同的已知条件,选择灵活的解题方法。一、利用定义求解例1、三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示,则sinα的值是()图1(A)(B)(C)(D)分析:由正方形网格可知角α的对边的长为3,邻边的长为4,要求sinα,只要根据勾股定理求出三角形的斜边,:设α的对边为a,邻边为b,斜边为c,则a=3,b=4,所以c=,所以sinα=,选(C).评注:解决这类问题的思路是依据图形确定三角形的三边的长,、设参数求解例2、在△ABC中,∠C=90º,sinB=,:正切函数的定义,sinB==,可设AC=4k,AB=5k,再利用勾股定理,求出AB=3k,根据正切函数的定义可求出tanA的值。解:在△ABC中,∠C=90º,sinB==,则设AC=4k,AB=5k,由勾股定理可求,BC==3k,所以tanA=. 评注:在直角三角形中,已知一个锐角的一个三角函数值,就可知道与此三角函数值有关的边的比值,若知道两条边的比值,就可求出与之对应的三角函数值,不需要知道具体的边长,所以当已知条件为某个角的三角函数值,求其它三角函数值时,可设参数表示出边长,然后再利用三角函数的定义求解。图2三、等角代换法例3、如图2,在矩形ABCD中,DE⊥AC于E,设∠ADE=∠ACD,且AB=3,AD=4,则tan∠BAC等于多少分析:要求tan∠BAC需求DE、AE的长,但计算比较繁,而Rt△ABC中的边易求出,而由条件易得∠ADE=∠BAC,所以只需求出tan∠BAC即可。解:在矩形ABCD中,DE⊥AC于E,所以∠DEA=∠B=90°,BC=AD=3,由AD∥BC,得∠DAE=∠ACB,所以∠ADE=∠BAC,所以tan∠BAC==。评注:在一个图形中有多个直角三角形时,当所求的角的三角函数值计算比较麻烦或不易解决时,可考虑等角代换。四、化“斜”为“直”法例4、如图3,已知AD为等腰三角形ABC底边上的高,且tan∠B=,AC上有一点E,满足AE∶EC=2∶,tan∠ADE是()图3(A)(B)(C)(D)分析:要求tan∠ADE值,需要构造包含∠ADE的直角三角形,为此需要过点作FE⊥AD,:因为AD⊥BC于D,AB=AC,所以∠BAD=∠CAD,因为tan∠B=,∠B+∠CAD=90°,所以tan∠CAD=,作EF⊥AD交AD于F,则tan∠CAD=,所以EF=,因为AD⊥BC,EF⊥AD,所以EF//CB,又AE:EC=2::FD=2:3,所以FE=,所以tan∠ADE=,故选(C).评注:当所要求锐角三角函数值的角不在直角三角形内时,、利用方程思想例5、如图4,△ABC中,∠C=90°,AC+BC=7(AC>BC),AB=5,则tanB= .图4分析:要求tanB,根据锐角三角函数的定义,则需要求到对边AC和邻边BC的长,因为知道斜边AB=5,且AC+BC=7,:设AC=x,则BC=7-x,根据勾股定理,得x2+(7-x)2=52,解