中学平面几何有关三角形五心的试题分析讲解.doc

中学平面几何《有关三角形五心》的试题分析一、垂心三角形三条高的交战,(外接)圆三角形,⊙O内接四边形,H1,H2,H3,H4依次为△A2A3A4,△A3A4A1,△A4A1A2,△:H1,H2,H3,H4四点共圆,并确定出该圆的圆心位置.(1992,全国高中联赛)分析:连接A2H1,A1H2,H1H2,△A2A3A4知=2RA2H1=2Rcos∠A3A2A4;由△A1A3A4得A1H2=2Rcos∠∠A3A2A4=∠A3A1A4,故A2H1=∥A1A2,于是,A2H1A1H2,,,H2H3与A2A3,H3H4与A3A4,,两者是全等四边形,H1,H2,H3,,,M两点,△ABC的垂心,D,E,F分别是BC,CA,⊙H交直线EF,FD,DE于A1,A2,B1,B2,C1,:AA1=AA2=BB1=2.(1989,加拿大数学奥林匹克训练题)分析:只须证明AA1==a,CA=b,AB=c,△ABC外接圆半径为R,⊙,=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2=r2+(AM2-MH2),①又AM2-HM2=(AH1)2-(AH-AH1)2=AH·AH1-AH2=AH2·AB-AH2=cosA·bc-AH2,②而=2RAH2=4R2cos2A,=2Ra2=4R2sin2A.∴AH2+a2=4R2,AH2=4R2-a2.③由①、②、③有A=r2+·bc-(4R2-a2)=(a2+b2+c2)-4R2+,=(a2+b2+c2)-4R2+r2,=(a2+b2+c2)-4R2+=、内心三角形内切圆的圆心,,要掌握张角公式,还要记住下面一个极为有用的等量关系:设I为△ABC的内心,射线AI交△ABC外接圆于A′,则有A′I=A′B=A′,点A′必是△IBC之外心(内心的等量关系之逆同样有用).,取△DAB,△ABC,△BCD,△CDA的内心O1,O2,O3,:O1O2O3O4为矩形.(1986,中国数学奥林匹克集训题)证明见《中等数学》1992;⊙O内接△ABC,⊙Q切AB,AC于E,F且与⊙:EF中点P是△ABC之内心.(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析:在第20届IMO中,美国提供的一道题实际上是例8的一种特例,但它增加了条件AB=≠AC,怎样证明呢?如图,显然EF中点P、圆心Q,BC中点K都在∠=.∵QK·AQ=MQ·QN,∴QK===.由Rt△EPQ知PQ=.∴PK=PQ+QK=+=.∴PK=,即知P是△ABC这内心