浅谈因式分解几种常用方法.docx

浅谈因式分解几种常用方法.docx浅谈因式分解几种常用方法❷因式分解是中学数学重点内容之一,而又应用广泛,难熟练掌握分解方法•因此,要正确理解因式分解的意义,因式分解是把一个多项式表示成几个不可约多项式的连乘的过程,实质是一种恒等变形•因式分解可在有理数范围内进行,也可在无理数范围内进行,范围不同,:提取公因数例1把下列各式分解因式8a3b2-12ab3c+2ab (2)18b(b-a) 2-12(a-b)3(3)a2b(x-y)-ab(y-x)分析:确定公因式:(1)式,系数8,12,2的最大公因数是2;字母:各项都含有的相同a,b;指数:a,b的最低次数分别是1和1,.•.多项式(1)的公因式是2ab.(2)式系数:18,12的最大公因数是6;再找出(b-a)2与(a-b)3公因式,(b-a)2=(a-b)2, .*.(a-b)2是公因式,多项式(2)的公因式是6(a-b)2.(3)求字母:各项都含有的相同字母是a,b;指数:a,b的最低次数分别是1,(x-y)与(y-x)的公式,*.*x-y=-(y-x),*.*(x-y)2就是公因式,•••多项式(3)的公因式是ab(x-y).提出公因式后,再就用原多项式除以公因式,:(1)原式=2ab(4a2b-6b2+l)原式=18b (a-b)2-12(a-b)3=6(a-b)2[3b-2(a-b)]=b(a-b)2(5b-2a).原式=a2b(x-y)+ab(x-y)=ab(x-y)(a+1).:其一,系数:提出各项系数绝对值的最大公因数;其二,字母:取各项都含有的相同字母;其三,指数:取相同字母的最低次数•注:提公因式法分解因式,-b2-12b-1164a-l-4a2+b2,4a2_b2_16c2+9a2_8bc—12aaz分析:(1)式经观察发现后面的三项括起来提出T后,括号内控三项满足完全平方公式,运用完全平方公式分解,再把b+14看作一个整体,把它整体地看成一个字母,即公式中的“b”,这就是整体思想,则整个式子就满足平方差公式了,运用平方差公式分解•(2)式,发现前面三项括起来提出-1后,括号的式子满足完全平方公式,用完全平方公式分解,再把l-2a看作公式中的“b”,这时,整个式子满足平方差公式,再用平方差公式分解•(3)式经观察发现第一项,第六项,第四项结合在一起括起来;第二项,第五项,第三项结合一起提出T后,都满足完全平方公式,运用完全平方公式分解,再把2a-3a,b+4c分别看成平方差公式中的“a”和“b”=a2-(b2+12b+116)=a2~(b+14)2=(a+b+14)(a-b-14)(2原式=b2-(1-4a+4a2)-b2_(1-2a)2=(b+l_2a)(b-l+2a)(3)原式二(4a2-12ad+9a2)-(b2+8bc+16c2)二(2a-3d+b+4c)(2a-3d-b-4c)以上分解因式的方法叫做公式法,都是先经观察发现哪些项结合在一起,变挨符号后,就满足某个公式了,再运用公式分解,每分解完一步,再观察下一步采用的方法,结果要使每个因式不能再分解为止•运用公式分解时,要注意公式的特点和结构(特别是左端),完全平方公式左边有三项,首末两项是两数平方和,中间项是两数积的两倍,左边是两数和(或差)的平方,平方差公式左端是平方差,可用下模式厶2-02=(△+口)(△-口).式子中的既可表单项式(包括数),(1)x3+3x2y-3xy2~9y3 (2)4x3+8x2-x~2分析:上面二个多项式的特点:①各项没有公因式可提,②也不能直接运用公式分解,③前两项系数的比等于后两项系数的比•因此,运用加法的结合律分组再行分解.(1)式,一、二项分成一组可提出x2,三、四两项分成另一组可提出-3y2.(4):(1)原式二(x3+3x2y)一(3xy2+9y3)=x2(x+3y)-3y2(x+3y)=(x+3y)(x2~3y2)・(若要求在实数的范围内分解时,则原式二(x+3y)(x+3y)(x~3y)・(2)原式二(4x3+8x2)-(x+2)=4x2(x+2)-(x+2)=(x+2)(4x-1)二(x+2)(2x+l)(2x-l)・(a2+b2)~ab(x2+y2).ab(a~b)+bc(b~c)+ac(c~a)分解:两多项式不能直接提取公因式,又不能运用公式分解,所以,只有