浅谈函数的单调性的学习.doc

浅谈函数的单调性的学****襄阳职业中专涂满春关键词:单调性学****摘要:函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一,函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础,在解决函数定义域、值域、比较两数大小、不等式的证明等具体问题中均需用到函数的单调性,同时在这部分内容中利用函数图形来研究函数性质的数形结合思想对我们学好数学有很大的帮助。1、增函数与减函数的定义定义:对于函数f(x)的定义域D内的某个区上的任意两个自变量的值。(1)若当时,都有f(X1)<f(X2),则说f(X)在这个区间上是增函数(如图1);(2)若当时,都有f(X1)>f(X2),则说f(X)在这个区间上是减函数(如图1);说明:(1)增函数描述的是f(X)随X的随大而增大,函数图像从左到右是呈上升的;减函数描述的是f(X)随X的增大而减少,函数图像从左到右是呈下降的。(2)增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较大的函数值、较小的自变量对应较小的函数值。即“大对大,小对小”;减函数在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值、较小的自变量对应较大的函数值。即“大对小,小对大”。(3)理解本定义应抓抓几个关键词语:①给定的“某个区间”:增函数、减函数是相对于相应区间而言的,有的函数在一些区间上是增函数,而在另一些区间上不是增函数,离开相应区间就根本谈不上增减性。如二次函数f(X)=x2,在区间(-∞,0)上是减函数,在区间(0,+∞)上是增函数,所以不能说f(X)=x2是增函数或是减函数。因此,交代桔柑个函数的增减性时,一定发票标明是在哪个区间上是增函灵敏或是减函数。②属于该区间的“任意两个”和“都有”:属于该区间,即是两个自变量都必须取自给定区间,不能人区间外取。若区间是闭的,端点可以取也可以不取,因为对于端点,相应的函数值只有唯一的一个,无所谓是增还是减。“任意两个”是指不能取特定的值来判决,而“都有”则是说只有x1<x2,f(X)就必须都小于f(X2)或都大于f(X2)。如f(X)=x2在区间[-2,2]上,如果取定两个特定的值X2=-2,X2=1,显然x1<x2,而f(X1)=4,f(X2)=1,有f(X1)>f(X2)若由此判决f(X)=x2在区间[-2,2]是减函数那就错了。因此,一个函数在某个区间是增函数或减函数,不能由特定的两上点来判决,必须严格依旧定义:在给定区间内任取两个x1,x2,根据它们的函数值f(X1)和f(X2)的大小来判决其增减性。反之,若已知函数f(X)在某个区间上是增函数或减函数,那么,我们就可以通过自变量的大小去判断函数值的大小,也可以由函数值的大小去判决自变量的大小。,即一般成立则特殊成立,反之特殊成立则一般不定成立,这是辨证法中一般与特殊的关系。2、单调性与单调区间若函数y=f(X)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数y=f(X)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数y=f(X)的单调区间,此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上,增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的。说明:(1)函数的单调区间是其定义域的子集;(2)应是该区间内任意的两个实数,忽略需要任何取值这个条件,就不能保证函数是增函数(或减函数),例如,图3中,在x1,x2那样的特定位置上,虽然使得f(X1)>f(X2),但显然此图象表