圆锥曲线中点弦公式.doc

圆锥曲线中点弦公式中点弦抛物线中点弦公式抛物线C:x^2(这里x^2表示x的平方,下同)=2py上,过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为:py-αx=pβ-α^2。中点弦存在的条件:2pβ>α^2(点P在抛物线开口内)。中点弦椭圆中点弦公式椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1上,过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为:αx/a^2+βy/b^2=α^2/a^2+β^2/b^2。中点弦存在的条件:α^2/a^2+β^2/b^2<1(点P在椭圆内)。中点弦双曲线中点弦公式双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1上,过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为:αx/a^2-βy/b^2=α^2/a^2-β^2/b^2。中点弦存在的条件:(α^2/a^2-β^2/b^2)(α^2/a^2-β^2/b^2-1)>0(点P不在双曲线、渐近线上以及它们所围成的区域内)。中点弦二次曲线中点弦性质与蝴蝶定理蝴蝶定理是二次曲线一个著名定理,它充分体现了蝴蝶生态美与“数学美”,并给出统一而简明的证明,:设两条不同的二次曲线S:F(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0有A、B、C、D四个公共点,其中无三点共线,则过A、B、C、D四点的任意一条二次曲线S2必可唯一地表示成:(证明略)定理1设三条不同的二次曲线(S、S1、S2)有A、B、C、D四个公共点,其中无三点共线;又直线L0被S、S1、,、S1的方程为(1)、(2),则S2方程可表为(3).因直线L0(设斜率为k)关于二次曲线S、S1、S2的共轭直径分别为:L:(a11x+a12y+a13)+k(a12x+a22y+a23)=f(x,y)=0因L、L1都通过L0被S与S1所截得的弦PQ与EF的共同中点O,显然L2也必通过点O,,∥CD,S和S1是过A、B、C、、S1各有两个交点,、CD的中点分别为M、N,又AB∥CD,故直线MN就是AB关于S和S1的共轭直径,故若平行于AB的任意直线被S、S1所截的弦PQ、EF有共同中点O,故有PE=QF,,皆有PE=QF,故夹在S和S1之间的两曲边区域△1和△2面积相等.[1]它酷似蝴蝶两翼,不过并非轴对称,,、S1、S2有无三点共线的四个公共点,沿某一确定方向的任意直线L0被S、S1、S2各截得一弦PQ、EF