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一类可借微分中值定理证明其收敛的数列
田羿
深圳大学师范学院数学系
学号:2002123121

【摘要】本文利用柯西收敛准则、数列单调有界收敛定理、拉格朗日中值定理导出压
缩数列收敛定理,对于具有迭代形式的数列可利用压缩数列收敛定理,尝试用构造可微函数
来推证其收敛性。
【关键词】有界变差数列;压缩变差数列;可微函数;拉格朗日中值定理
【教师点评】本文借助拉格朗日微分中值定理导出一个判别迭代形式的压缩数列收敛
的充分条件,并且给出了若干应用的例子。众所周知,迭代形式的压缩数列收敛性难以直观
地用常规的方法来判别。本文利用处理连续变量的方法来处理离散数列,这是处理数列问题
的常用方法, 所以有一定的理论意义。
点评教师:杨和平陈冬梅


极限论是《数学分析》和《高等数学》等课程的基础工具,绝大多数与函数性态有关的
概念例如:函数的连续性,,
最先出现的是数列的极限,,最先引入的数列极限在
其具体的解算过程中由于数列自身的离散性,许多处理函数极限的有力工具必须通过归并原
则等定理转化后才可使用在数列极限的求算中,这是求数列极限困难的一个原因.
关于数列极限的问题,从宏观上可以分为两个方面:第一,数列的极限是否存在?第二,
若数列的极限存在,怎样求到呢?事实上,这两个问题中,第一个问题有重要的理论意义,
因为它直接关系到第二问题操作的方向!在判断数列极限的存在性时,通常的方法有定义法、
柯西数列收敛准则、单调有界数列收敛定理、借助已知常用极限等.
事实上以上的若干方法具有相对的局限性,对于一些结构较特殊的数列来说以上这些方
[1]
{ } ==+ =+ ∈
若数列 xn 满足条件 xmxmqxx01, sin 0 ,LLnn+ 1 mqx sin 其中 q (0,1) 且
{ }
为常数,问数列 xn 是否收敛?
该问题若使用常规的方法,:由于无法确定该数列的具体收
敛极限也就难以使用定义法来证明该问题;由于难以估算该数列“充分远”的两项之差是否
可以“充分小”(小于任给ε),也就难以使用柯西数列收敛准则;由于难以考察该数列的单
调性和有界性,因此也难以使用“单调有界数列收敛定理”.
因此,各种常规的判断数列极限的存在性方法对于该问题是难以发挥作用的.
本文就以该问题为代表例子,针对这一类特殊结构的数列推证出一种判别该类数列收敛
的特殊方法.

定义 (有界变差数列)
{ } −+−++−≤≥=
若数列 xn 满足条件 xxnn−−−112 x n x n LL xx 21 M(0 M n 2,3,),
{ }
则称 xn 是有界变差数列。
定义 (压缩数列)
{ } −≤−= <<
若数列 xn 满足条件 xnnxrxxn−−−112 n n 2,3,L (0 r 1, r称为压缩系
{ }
数),则称 xn 为压缩变差数列。
引理 (有界变差数列收敛定理)
{ } −+−++−≤≥=