浅谈正规矩阵-陕西师范大学网络教育学院.doc

陕西师范大学学士学位论文浅谈正规矩阵作者单位数学与信息科学学院浅谈正规矩阵摘要:若是复数域上的方阵,且满足条件,则称为正规矩阵。我们知道一些特殊的矩阵,如酉矩阵、对称矩阵、Hermite阵、正交矩阵等都是正规矩阵。正规矩阵在科技、物理学、几何学、工程等方面有许多应用。Schur分解定理是说对于任意的复矩阵,都与一个上(下)三角矩阵相似,这个定理在研究相似矩阵方面有着重要的应用。本文从Schur分解定理出发,讨论和总结了正规矩阵的一些性质和判定方法;鉴于实际的应用,给出了一些特殊形式的正规矩阵的若干结论,如次正规矩阵,正定正规矩阵,H—正规矩阵等。关键字:正规矩阵;正定正规矩阵;H—正规矩阵;次正规矩阵;超正规矩阵LittleaboutNormalMatrixCUIChao-sheng(Class5,Grade2002,CollegeofMathematicsandInformationScience)Advisor:ProfessorWUBao-weiAbstract:plexfield,andwhenwehave,,suchastheunitarymatrix,thesymmetricmatrix,theHermitematrix(thisis,theselfadjointmatrix),theorthogonalmatrix,,physics,geometry,engineering,:AcomplexmatrixAmustbesimilarwiththeupper(lower)triangularmatrix,,thendiscussesandsumsupsomebasicpropertiesanddistinguishruleofthenormalmatrices;Furthermore,forthepracticalapply,weintroducesomeespecialnormalmatrices,suchastheSubnormalmatrices,thePositiveDefinitenormalmatricesandtheH-:Normalmatrix;PositiveDefinitenormalmatrix;H-Normalmatrix;Subnormalmatrix;Hyper-normalmatrix设A是复数域上的方阵,如果有AA=AA,则称A为正规矩阵;如果A是实数域上的方阵,且有AA=AA,则称A为实正规矩阵。在这里,A表示矩阵A的转置矩阵,A表示矩阵A的复共轭转置矩阵。其中的A定义如下:设A∈C,用表示A的元素的共轭复数为元素所组成的矩阵,令A=(),则称A为A的复共轭转置矩阵。根据复共轭转置矩阵的定义,再结合转置矩阵的性质,便有:i)A=();ii)(A+B)=A+B;iii)(kA)=A;iv)(AB)=BA;v)(A)=A;vi)A可逆时,(A)=(A)。容易验证:对称矩阵,反对称矩阵(A=-A),正交矩阵都是实正规矩阵;而酉矩阵,Hermite矩阵,反Hermite矩阵(即A=-A)均属于复正规矩阵。对称矩阵,Hermite矩阵在力学,物理学,自动控制等工程技术中有着广泛的应用;而正交矩阵,酉矩阵在几何,物理学中也有许多应用。因此,我们有必要讨论一下这类特殊矩阵的一些性质;正规矩阵的特征值问题是良好的,我们再讨论一下正规矩阵的一些判定方法。,若A满足AA=I或A=A,则称A为酉矩阵。从酉矩阵的定义,我们可以得到以下的性质:i)若A是酉矩阵,则A也是酉矩阵;ii)若A,B是酉矩阵,则AB是酉矩阵;iii)若A是酉矩阵,则det(A)=1;iv)A是酉矩阵它的n个列向量是两两正交的单位向量。(Schur分解)设A,则A可酉相似于上三角矩阵T,即存在n阶酉矩阵U,使得UAU=UAU=。当n=1时,A本身就是一个上三角矩阵,取U=(1)即知结论成立。假定对n-1阶方阵结论成立,下证对n阶方阵结论也成立。取A的特征值λ和单位特征向量μ,即Aμ=λμ,且=1,以为第一列构造n阶酉矩阵,则UAU=(A)= ,其中A是n-1阶方阵。根据归纳假设,存