代数学的发展.doc

第一节代数学的发展
一、伽罗瓦理论及群论的发展
长期以来,求解方程一直是整个代数的中心内容,,,但却引入了群和域等新概念,从而开辟了代数学研究的新方向.

伽罗瓦生于巴黎附近的布拉伦(Bourg-la-Reine).他们俩有着共同的命运,很年轻就在数学的新领域做出了辉煌成就,但却不幸夭折,阿贝尔在26岁时死于结核病和营养不良,.
为了求解四次以上的方程,华林、拉格朗日、鲁菲尼(-ni,1765—1822)、高斯、、、伽罗瓦有直接的影响.
阿贝尔在1824年春天成功地证明了:,他首先证明了今天的阿贝尔定理:可用根式求解的方程的根能以这样的形式给出,出现在根的表达式中的每个根式都可表成方程的根和某些单位根的有理函数.
利用阿贝尔定理,1826年阿贝尔证明了高于四次的一般方程用根式求解的不可能性,根据阿贝尔的思想,克罗内克(-necker,1823—1891)于1879年给出了一个直接、,几百年之久的求解高于四次的一般方程的问题就被阿贝尔解决了.
不仅如此,阿贝尔还给出了特殊的可用根式求解的方程的特征:这些方程的所有根都是其中一个根的函数,即全部根为x,θ1(x),θ2(x),…,θn-1(x).其中θ1是有理函数.
1853年,克罗内克称具有这种特征的方程为阿贝尔(Abel)方程.
随后,阿贝尔证明了更一般的定理:如果一个方程的所有根能表示成其中一个根的有理函数,且对于其中任意的两个根θα,θβ,有
θα(θβ(x))=θβ(θα(x)).
则该方程可用根式求解.
、,阿贝尔定理,阿贝尔收敛判别法和关于幂级数的阿贝尔定理.
阿贝尔的工作开辟了代数学研究的新方向,他引进了域和在给定域中不可约多项式这两个概念,并且开始了群论的研究.
在群论、方程根的置换等问题的研究中,:虽然高于四次的方程一般不能用根式求解,但有些特殊的方程如阿贝尔方程却可用根式求解,那么哪些方程可用根式求解呢?
为了解决这个问题,他利用了拉格朗日关于根的置换、,x2,x3,x4是一个四次方程的根,则在这四个根的排列中交换xi和xj就是一个置换,这样总共就有4!=,所置换的集合形成一个群,这样伽罗瓦就给出了关于抽象群的一个早期定义.
这样,:给了一个方程,按照某种方法找到方程在系数域中的群G——根的置换群,,再找G的最大子群H,然后可以用一套仅含有理运算的手续来找到根的对于G的所有T≠R,,伽罗瓦给出了找给定方程的群,逐次预解式以及方程关于逐次扩大了的系数域的群——原来群的逐次子群的一系列方法,在这些工作中,群论的基本理论有了一些框架.
然后伽罗瓦引入了正规子群(或称自共轭子群,不变子群)-A=0时,则H是G的一个具有指数p的正规子群;反之,如果H是G的一个正规子群,且具有素指数p,则相应的预解式是p次二项方程,或能化简到这样的方程.
伽罗瓦引入了合成序列的概念:在子群序列G,H,K,L,…,E中,,K对H的指数等等,:若一个方程的置换群的逐次子群所成的合成序列的指数都是素数,则这方程就能用根式求解;否则,该方程就不能用根式求解.
利用这个结论,伽罗瓦证明,对于一般的n次方程,方程的置换群由n个根的全部n!个置换组成,!.

而n=2时,合成序列的指数是2,n=3时合成序列的指数是2和3,n=4时合成序列的指数是2,3,2,2,因此当n≤4时方程能用根式求解.