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数学分析_各校考研试题及其答案.doc


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数学分析_各校考研试题及答案
2003南开大学年数学分析
设其中有二阶连续偏导数,求
解:令u=x+y,v=x-y,z=x则;
设数列非负单增且,证明
解:因为an非负单增,故有
由;据两边夹定理有极限成立。
设试确定的取值范围,使f(x)分别满足:
极限存在
f(x)在x=0连续
f(x)在x=0可导
解:(1)因为
==极限存在则2+知
(2)因为=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则
(3)所以要使f(x)在0可导则
四、设f(x)在R连续,证明积分与积分路径无关
解;令U=则=又f(x)在R上连续故存在F(u)使dF(u)=f(u)du=
所以积分与路径无关。(此题应感谢小毒物提供思路)
设f(x)在[a,b]上可导,且,证明
证:因f(x)在[a,b]可导,则由拉格朗日中值定理,存在即有六、设单减而且收敛于0。发散
证明
证明其中;
证:(1)因为而单减而且收敛于0据狄利克莱判别法知
(2)因为正项级数发散则又由上题知故有
七、设 证明
(1)在一致收敛
(2) 在连续
证:(1)因收敛(可由狄利克莱判别法判出)故在t>=0上一致收敛;又在x>=1,t>=0 单调且一致有界由阿贝尔判别法知一致收敛
(2)由上题知,F(t)在一致收敛,且由在(x,t)上连续知F(t)在连续所以在连续,由的任意性得证
八、令是[a,b]上定义的函数列,满足
(1)对任意是一个有界数列
(2)对任意,存在一个求证存在一个子序列在[a,b]上一致收敛
证:对任意,是一个有界数列故由致密性定理存在一收敛子列,设为,又令U=则U为[a,b]的一个开覆盖集,由有限覆盖定理,存在有限个开区间覆盖[a,b],不妨设为
于是对>0,有令则由条件(2)知对上述
于是
++由柯西准则得证。
2004年南开大学数学分析试题答案
1.
2. ,
=
,即证
设,,
,,证完。
4.===
=,Q=,,积分与路径无关,则
6. ,又当时,收敛,当时,级数发散,原题得证
,,其中,原题得证
8.(1)应用数学归纳法,当时命题成立,
若当时命题也成立,则当时,,由归纳假设连续。
(2)
(3)由单调递减趋于,与都连续,由地尼定理,该收敛为一致收敛。
9.(1)证明:
取,代入式中得,
即,所以函数单调递增有下界,从而存在右极限,则
;
,由题设可得,
即从而,
所以导函数递增。
(2)参考实变函数的有关教材。
2005年南开大学数学分析试题答案
2.,其中由求出
3.
,则在上一致收敛,又在上连续,则在上连续。
,则,后者收敛,则原级数收敛。
,后者收敛,由魏尔特拉斯定理,原级数一致收敛。
由一致收敛,则可以逐项求导,也一致收敛且连续,故连续可导
:设存在有,不妨设,由连续函数的局部保号性,知道存在一个邻域当时,则存在一个圆周与已知矛盾。
,
时,,综上,
若对任意的有,则在时,不存在,矛盾。
设当时,当时,两边对积分即可
6. ,,由在上有定义,则在上有界,则可以得到在上连续。
,则,则则单调递增有下界,存在右极限,存在,同理存在,由极限的保不等式性可得
2003年中国科学院数学研究院数学分析试题答案
1.
(1)当时,
当时,
当时,
当时,
(2)当时,
=
(3)当时,
当时,
当时,
当时,
2. 当时, ,从而连续;
当时,,存在;
当时,
,
:,
,,
当时,设,,,
所以,
当时,设,,,
所以,
4.

,,积分矛盾

==
=

,切点为和
8. 当时,
相加:
令,所以
9
由含参量积分的性质,
科院2006年数学分析试题参考解答
1求a,b使下列函数在x=0处可导:

解:由于函数在x=0处可导,从而连续,由得到b=1;
又由得到a=。
2
证明: 用反证法。
由知,均为正项级数。
假设级数收敛,则,于是有

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