常微分方程教案.doc

第一章绪论在初等数学中,我们已经学过一些代数方程(如元个一次联立方程),并且用它们解决了一些有趣的应用问题,使我们初步体会到方程论(主要是设未知量、列方程和求解方程的方法)对于解决实际问题的重要性。在解析几何与微积分中,我们又碰到一类不同的方程——方程的个数少于未知量的个数,也就是通常所说的函数方程。例如, 1)(设是自变量,则是未知函数); 2),(设是自变量,则和是两个未知函数)。这类函数方程与开头所说的代数方程相比,在概念上进了一步——确定自变量与因变量之间的函数关系。利用这类方程可以解决一类新的问题,例如某些轨迹问题和极值问题等。本课程所要讲述的方程与刚才说的那种函数方程又不一样,它们除了自变量和未知函数外,还包含了未知函数的导数(即微商)。例如: 1)(是自变量,是未知函数,是未知函数对的导数。) 2)(是自变量,是未知函数,是未知函数对的导数等等)。这种联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数(或微分)的关系式,数学上称之为微分方程。其中未知函数的导数或微分是不可缺少的。下面我们通过几个具体的例子,粗略地介绍常微分方程的一些物理背景和方程的建立问题,并讲述一些最基本的概念。第一节微分方程:某些物理过程的数学模型在这一节中列举几个简单的实际例子,说明怎样从实际问题列成微分方程的问题。例子虽然简单,但是从中能够简明地诱导出微分方程的一些基本概念,成为进一步探讨其他较复杂问题的借鉴。掌握好这些例子,会有助于增进我们分析问题的能力。例1物体冷却过程的数学模型将某物体放置于空气中,在时刻时,测量得它的温度为,10分钟后测得温度为。我们要求决定此物体的温度和时间的关系,并计算20分钟后物体的温度。这里我们假定空气的温度保持为。解为了解决上述问题,需要了解有关热力学的一些基本规律。例如,热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的;在一定的温度范围内(其中包括了上述问题的温度在内),一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度的差值成比例。这是已为实验证明了的牛顿(Newton)冷却定律。设物体在时刻的温度为,则温度的变化速度以来表示。由牛顿冷却定律得到这里是比例常数。方程()就是物体冷却过程的数学模型,它含有未知函数及它的一阶导数,这样的方程,我们称为一阶微分方程。为了决定物体的温度u和时间t的关系,我们要从方程()中“解出”。注意到是常数,且,可将()改写成这样,变量和被“分离”开来了。两边积分,得到      ()这里是“任意常数”。根据对数的定义,得到  令,即得              ()根据“初始条件”:当时,    () 容易确定“任意常数”的数值。故把和代入(),得到于是         ()这时如果的数值确定了,()就完全决定了温度和时间的关系。根据条件时,,得到  由此,             用给定的,和代入,得到          从而() 这样根据方程(),就可以计算出任何时刻t物体的温度u的数值了。例如20分钟后物体的温度就是。由方程()可知,当时,这可以解释为:经过一段时间后,物体的温度和空气的温度将会没有什么差别了。事实上,经过2小时后,物体的温度已变为,与空气的温度已相当的接近。而经过3小时后,物体的温度为,我们的一些测量仪器已测不出它与空气的温度的差别了。在实用上,人们认为这时物体的冷却过程已基本结束。微分方程的“解”可以用图形表示出来,这往往给我们一个简明直观的了解。图()就是“解”()的图形。        从例1中可以大体看出用微分方程解决实际问题的基本步骤:(1)建立起实际问题的数学模型,也就是建立反映这个实际问题的微分方程;(2)求解这个微分方程;(3)用所学的数学结果解释实际问题,从而预测到某些物理过程的特定性质,以便达到能动地改造世界,解决实际问题的目的。建立起实际问题的数学模型一般比较困难的,因为这需要对与问题有关的自然规律有一个清晰的了解(例如,例1中就要了解热力学中的牛顿冷却定律),同时也需要有一定的数学知识。微分方程往往可以看作是各种不同物理现象的数学模型。我们在建立微分方程的时候,只能考虑影响这个物理现象的一些主要因素,而把其他的一些次要因素忽略掉,如果的确考虑到了那些最主要的因素,那么我们所得到的微分方程,它的解和所考虑的物理现象比较接近的。这时,我们得到的数学模型是有用;否则,我们还应该考虑其他的一些因素,以便建立起更为合理的数学模型。下面再举几个例子说明如何建立微分方程的问题,至于如何求解这些微分方程,则留待以后再讨论。例2 镭、铀等放射性元素因不断地放出各种射线而逐渐减少其质量(称为衰变)。根据实验知道衰变速度与剩