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层次分析法简介
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层次分析法
美国运筹学家萨蒂()在70年代初提出的层次分析法(Analytical Hierarchy Process,简称AHP)是一种具有定性分析与定量分析相结合的决策方法,可将决策者对复杂对象的决策思维过程系统化、模型化、数量化。
AHP基本思想是通过分析复杂问题包含的各种因素及其相互关系,将问题所研究的全部元素按不同的层次进行分类,标出上一层与下层元素之间的联系,形成一个多层次结构。在每一层次,均按某一准则对该层元素进行相对重要性判断,构造判断矩阵,并通过解矩阵特征值问题,确定元素的排序权重,最后再进一步计算出各层次元素对总目标的组合权重,为决策问题提供数量化的决策依据。
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层次分析法基本步骤
明确问题建立层次
构造判断矩阵
层次单排序
层次总排序
一致性检验
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明确问题建立层次
对问题涉及的全部元素按各其相互间的影响与作用分类,每类作为一个层次,按最高层(即目标层,表示解决问题的目的)、若干有关的中间层(表示采用某种措施或根据某种准则来实现预定目标所涉及的中间环节)和最低层(表示解决问题的措施和方案)的形成排列起来形成一个层次结构图。
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构造判断矩阵
层次结构建立后,明确了上下层次之间的从属关系。
假定A层中元素Ak与下层中元素B1,B2,…,Bm有联系,构造如下的判断矩阵:
Ak
B1
B2
…
Bm
B1
b11
b12
…
b1m
B2
b12
b22
…
b2m
…
Bm
bm1
bm2
…
bmn
其中bij表示对于Ak而言,Bi对Bj相对重要性的标度(MBi/MBj) 。显然判断矩阵B= (bij)有关系式
bij>0,bii=1,bji= 1/ bij ,i,j=1,2,…,m
因此对m阶判断矩阵, 仅需对m(m-1)/2个元素给出标度。
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标度值意义及一致性
标度值
意义
说明
1
Bi与Bj同样重要
Bi,Bj对一个目标贡献相同
3
Bi比Bj重要性稍高一些
二者间判断差异轻微
5
Bi比Bj重要性明显高
二者间判断差异明显
7
Bi比Bj重要性明显多
二者间判断差异强烈
9
Bi比Bj极端重要
差异达到可能范围极限
2,4,6,8
表示相邻判断的中间值
用于需要达成妥协场合
上述各值倒数
相应的反比较,即Bi和Bj比较其相对重要性用上述之一值进行标度,则Bj和Bi比较以该值的倒数标度。
判断矩阵的数值是根据客观数据、专家意见和分析者的认识综合平衡后给出的,因此对判断矩阵的质量有一致性的要求,即B中元素满足要求:bijbjk=bik i,j,k=1,2,…,m
满足一致性的充分必要条件是:它的最大特征值λ*=m。
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层次单排序
利用判断矩阵,计算对于上一层某元素而言,本层次与之有联系的元素的重要性次序的权值(权向量)的过程,称为层次单排序。
层次的单排序可以归结为计算判断矩阵的特征值与特征向量的问题,即对于判断矩阵B,求解满足BU=λU的最大特征值λ*以及对应λ*的正规化(单位化)的特征向量U*,U*的分量即为相应元素的单排序权重。
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一致性指标
在一般情况下,判断矩阵的特征值为单根,且λmax≥m,当B具有满意的一致性时,λmax稍大于m,其余的特征值接近于零,此时,层次分析得出的结论基本合理。
我们可用CI= (λ*-m)/(m-1)作为检验B的一致性指标。
显然,当判断矩阵具有一致性,CI=0;λ*-m越大,CI越大,一致性越差。
此外还要考虑判断矩阵的平均随机一致性指标RI。通过多次随机的构造m阶判断矩阵,计算其最大特征根,然后取平均值得λ,于是得到RI = (λ-m)/(m-1)。
注:1~12阶判断矩阵的RI值已编制成数表备查。
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随机一致比例CR
一、二阶判断矩阵必有一致性,其RI值只是