概率论与数理统计 1.3 概率的定义与性质.ppt

概率的定义与性质
概率的公理化定义
概率的基本性质
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概率的公理化定义
前面分别介绍了统计概率定义、古典概率及几何概率的定义,它们在解决各自相适应的实际问题中,都起着很重要的作用,但它们各自都有一定局限性.
为了克服这些局限性,1933年,前苏联数学家
柯尔莫哥落夫在综合前人成果的基础上,抓住概率
共有特性,提出了概率的公理化定义,为现代概率
论的发展奠定了理论基础.
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概率的公理化的定义:
(3)可列可加性: 设
(2)规范性
(1)非负性
两两互不相容.
设
是给定的实验E的样本空间,对其中的任意一
事件A,规定一个实数P(A),若P(A)满足:
则
则称P(A)为事件A的概率.
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概率的公理化定义
(1)P(φ)=0,P(Ω)=1,逆不一定成立.
(2)若AB=φ,则P(A+B)=P(A)+P(B),:若A1,A2,…,An两两互斥,则
P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
(3)P(A-B)=P(A)-P(AB),P(Ω-A)=1-P(A).
若A是B的子事件,则P(B-A)=P(B)-P(A);P(A)≤P(B);
(4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
可推广到有限个事件的情形.
证明(3)
A=(A-B)+AB,A-B和AB为互斥事件,所以由(2)得
P(A)=P(A-B)+P(AB),即 P(A-B)=P(A)-P(AB).
P(A+B)=P[A+(B-AB)]
证明:(4)
=P(A)+P(B-AB)
=P(A)+P(B)-P(AB)
类似可证其他.
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得:P(B)=P(A+B)-P(A)=-=,
AB=φ,P(A)=,P(A+B)=,
求 B的逆事件的概率。
所以,P( )=1-=
解: 由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)
思考: 在以上条件下,P(A-B)=?
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,A与B都发生的
, ,求:A发生
B不发生的概率;B发生A不发生的