解线性方程组.docx

解线性方程组.docx解线性方程组的直接法对方程AX=b,矩阵A的维数是mxn,(1)m=n恰定方程,寻求精确解;(2)m>n超定方程,寻求最小二乘解;(3)m<n%定方程,寻求基木解,其屮至多有加个非零元素•针对不同的况,、 超定方程组当m>n时,方程组个数比未知数多,上式为一超定方程组•一般而言,满足方程AX=h的解将不存在,方程没有精确解,在MATLAB中,利用左除命令X=A\b来寻求它的最小二乘解,即使||AX-,即X=pinv^b,所得的解不一定满足AX=b,X只是最小二乘意义上的解•左除的方法是建立在奇异值分解基础之上,由此获得的解最可靠;广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上,其算法可靠性稍逊于奇异值分解,、 欠定方程组当m<n时,未知数比方程个数多,,满足方程AX=h的解有无穷多个,MATLAB只给出其屮一个基本解X=A\b,要得到它的通解,可用函数皿〃来实现三、 恰定方程组恰定方程组由刃个未知数,刃个方程构成,对AX"在线性代数教科书中,最常用的方程解法有:⑴利用cramer公式求解法;利用矩阵求逆解法,即X=A~lb;利用gauss消去法;,对于维数不高、条件数不大的矩阵,上面4种解法所得的结果差别不大•前两种解法的真正意义是在其理论上,而不是实际的数值计算•而Gauss消去法,其本质上利用LU分解,在MATLAB屮,出于对算法稳定性的考虑,行列式及逆矩阵的计算大都在LU分解的基础上进行•因此,在MATLAB中,求解这类方程组吋可直接采用表达式:X=A\b・(LU分解)若阶矩阵A可逆且顺序主子式不为零,则A可以分解为一个单位下三角阵厶和一个上三角阵U的积A=LU^并且这种分解是唯一的•由于AX=LUX=b记t/X=Z,贝 从而由厶Z=b求得Z=L\b,再由UX=Z求乂=U\Z,X=U\(L\b)MATLAB中,用[L,U]=lu{A)函数求得L,U,再用X=U\(L\b),可采用Cholesky分解法,矩阵Cholesky分解定理为:如果A是对称止定矩阵,则(至少)存在一个实的下三角矩阵厶使得A二Lli此外,我们可以限定矩阵厶的对角元素全部为正,那么,对应的分解A=,用厶=chol{A)函数求得厶,再用X=L\(L\b)(LU分解)Wcholesky法的基础都是把线性方程组的矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积,但对于对称正定矩阵的情形,,称为0?,则存在一个酉矩阵0,以及一个上三角矩阵R,使得A=此外,我们可以设法使矩阵R的对角元素都为正•如果A是可逆的,则这时所对应的分解A=QR是唯一的•在MATLAB中,用[Q,R]=qr(A)函数求得Q,R,再用X=R\(Q\b)、测量平差、控制理论等方面均得到广泛的应用。例如,已知〃对数据(GX)(其中心1,2,...,肌)和“个已知函数勺⑴(其中XI,2,…,”)试构造线性组合用该线性组合最佳地拟合这加对数据("」)(其中心1,2,・・.,加)即我们希望适当地选取组合系数®(八1,2,…/),使得在某种范数意义下,误差水力=X一XXjhj4),(i=1,2,…,m)能够达到最小。令hj(dZ,(i=h2,…,m;j=\,2,…,叭则上式可用矩阵向量形式把误差向量表为心2—Ax,其中5(x)、a\2 …4“、厂(X)=b(x)••■,A=a2\•••a22 …a2n•••••••••ja川an2 …%>b=()W2'…‘儿匚兀=(兀"2'…心)丁当加时,在上式中可要求厂(兀)=0,则估计“⑴宀,…,"的问题就转化为求解线性方程组。当加>"时,一般厂(兀"°,最小二乘问题就是适当选取兀使误差厂⑴在2范数意义下等于最小。给定矩阵朕C曲及向量处L,寻找XWC〃满足llmw嚟阳汕这就是线性最小二乘问题,其解也称为线性方程组山汕恥严的最小二乘解。在方程组不相容情形,它可视为方程组在最小二乘意义下的最优近似解。在方程组相容时,则最小二乘解与通常意义下的解是一致的。奇异值分解1、奇异值与奇异值分解定理奇异值定理:设AY:r=rank(A),则一定存在加阶酉矩阵U和〃阶酉矩阵 V 和 对 角 矩 阵》=diag((T\Q2,…且而00=1,2,…,厂) ,使得A=u^vH,称为A的奇杲值分解。复数域内的奇异值:设Aecr>0),