内切球与外接球习题讲义教师版.doc

立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究1球与柱体规则的柱体,如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱柱的棱产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题 .球与正方体如图1所示,正方体ABCD A1B1C1D1,设正方体的棱长为 a,E,F,H,G为棱的中点,O为球的球心。常见组合方式有三类:一是球为正方体的内切球,截面图为正方形EFHG和其内切圆,则 OJ r a;2二是与正方体各棱相切的球,截面图为正方形 EFHG和其外接圆,则OG R 2a;2三是球为正方体的外接球,截面图为长方形 ACC1A1和其外接圆,则A1O R' ,解决正方体与球的组合问题,常用工具是截面图,即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面,通过两个截面图的位置关系,确定好正方体的棱与球的半径的关系,进而将空间问题转化为平面问题 。例1棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上,E,F分别是棱AA1,DD1的中点,则直线EF被球O截得的线段长为(),故长方体存在外切球 . a,b,c,其体对角线为 ,截面图为长方体的对角面和其外接圆,和正方体的外接球的道理是一样的,、宽、高分别为 2,2,4的长方体内有一个半径为 1的球,任意摆动此长方体,则球经过的空间部分的体积为 ( ) 球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体,常以外接形态居多。下面以正三棱柱为例,介绍本类题目的解法——构造直角三角形法。设正三棱柱 ABC A1B1C1的高为h,底面边长为a,如图2所示,D和D1分别为上下底面的中心。根据几何体的特点,球心必落在高DD1的中点O,ODh,AOR,AD3a,借助直2323a2角三角形AOD的勾股定理,可求Rh。23例3正四棱柱ABCD A1B1C1D1的各顶点都在半径为 R的球面上,则正四棱柱的侧面积有最 值,为 .2 球与锥体规则的锥体,如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题 . 球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体,它既存在外接球,也存在内切球,并且两心合一,利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系。如图4,设正四面体S ABC的棱长为a,内切球半径为 r,外接球的半径为R,取AB的中点为D,E为S在底面的射影,连接CD,SD,SE为正四面体的高。在截面三角形SDC,作一个与边SD和DC相切,圆心在高SE上的圆,即为内切球的截面。2因为正四面体本身的对称性可知,外接球和内切球的球心同为 O。此时,COOSR,OEr,SE2a,CE3a,则有Rr2a,R2r2CE=a2,解23333得:R6a,,建立含有两个412球的半径的等量关系进行求解 .同时我们可以发现,球心 ,可为解题带来极大的方便 .例4将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为 ( )++球的外切正四面体,这个小球球心与外切正四面体的中心重合,而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的3倍.] 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题,,即把三棱柱补形成正方体或者长方体。常见两种形式:一是三棱锥的三条棱互相垂直且相等,则可以补形为一个正方体,它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心。如图 5,三棱锥A1 AB1D1的外接球的球心和正方体 ABCD A1B1C1D1的外接球的球心重合,设AA1 a,则R 3a。2二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等,则可以补形为一个长方体,它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心,R2a2b2c2l244(l为长方体的体对角线长 )。3例 5 在正三棱锥 S ABC中,M、N分别是棱 SC、BC的中点,且 例6在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=3,侧棱PA与底面ABC所成的AM MN ,若侧棱SA 2 3,则正三棱锥S ABC外接球的表面积 角为60°,则该三棱锥外接球的体积为( )是 。 球与正棱锥球与正棱锥的组合,常见的有两类, 球与特殊的棱锥一是球为三棱锥的外接球,此时三棱锥的