高中数学选修1-1《导数及其应用》知识点讲义.doc

第三章 导数及其应用一、变化率与导数1、定义:设y f x在x x0处取得一个增量 x x ,,有极限存在,则称此极限值为函数 y在x x0处的瞬时变化率,记为limylimfx0xfx0,也称为函xxx0x0数y在xx0处的导数,记作f'x0或y'xx,0即f':导数即为函数 y f x在x x0处的瞬时变化率 .2、几何意义: x 0时,Q沿f x图像无限趋近于点 P时,切线PT的斜率.'即f x0 kPT.、导函数(简称为导数)3yf''''ylimfxxfxx称为导函数,记作y,即fx=y=、常见函数的导数公式1若f(x)c(c为常数),则f(x)0;2若f(x)x,则f(x)x1;3若f(x)sinx,则f(x)cosx4若f(x)cosx,则f(x)sinx;若若f(x) ax,则f(x) ex,则f(x) axlnaf(x) ex7若f(x)logax,则f(x)1xlna8若f(x)lnx,则f(x)1x三、导数的运算法则1.[f(x)g(x)]f(x)g(x)2.[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)3.[f(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)[g(x)]2四、复合函数求导y f(u)和u g(x),称则y可以表示成为 x的函数,即y f(g(x))为一个复合函数,则 y f(g(x)) g(x)五、 :(1)在某个区间(a,b)内,如果f(x)0,那么函数yf(x)在这个区间单调递增;如果f(x)0,那么函数yf(x):①若fx在定义域区间上不是单调的,则常常用f'=0②若f'x在某个区间恒有f'x,则fx是常函数;若f'x在某个区间内只有有0限个点使f'x,其余恒有f'x0,:fxx3在R上有f'0,其余恒有f'x,x3仍为R上的增函数,00,fx其函数图像为:(2)求单调区间的步骤:①求f x的定义域;②求导f'x;③令f'x 0,解集在定义域内的部分为增区间 .④令f'x 0,解集在定义域内的部分为减区间 .说明:当函数有多个递增区间或递减区间时,不能用 “”“、或”相连,应该用“”,隔开或用“和”.()一种常见的题型:3已知函数的单调性求参数的取值范围,利用若单调递增,则f'x;若fx单调递减,“fx0则f'x 0?来求解,注意等号不能省略,否则可能漏解!(1)极大、极小值得定义:①若对x0附近的所有的点,都有fxfx0②若对x0附近的所有的点,都有fxfx0且fx0=0,则称fx0是函数fx的一个极且fx0=0,..:极大值与极小值统称为极值,极大值与极小值点统称为极值点,极值点是实数而不是点 .(2)求函数的极值的步骤:①