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高中理科数学空间向量方法总结(家教专用).doc


文档分类:中学教育 | 页数:约13页 举报非法文档有奖
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平面法向量与立体几何引言:平面的法向量在课本上有定义,考试大纲中有“理解”要求,但在课本和多数的教辅材料中都没有提及它的应用,其实平面的法向量是中学数学中的一颗明珠,是解立体几何题的锐利武器。本文介绍平面法向量的二种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。开发平面法向量的解题功能,可以解决不少立体几何中有关角和距离的难题,使高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确,那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中,设平面的法向量[或,或],在平面内任找两个不共线的向量。由,得且,由此得到关于的方程组,解此方程组即可得到。二、平面法向量的应用求空间角(1)、求线面角:如图4-1,设是平面的法向量,AB是平面的一条斜线,,则AB与平面所成的角为:例3、在例2中,求直线与平面所成的角。解析:由例2知,,,,即(2)、求面面角:设向量,分别是平面、的法向量,则二面角的平面角为:(图5-1);(图5-2)图4-1αBACABα图4-2Cβα图5-1α图5-2β两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定,在图5-1中,的方向对平面而言向外,的方向对平面而言向内;在图5-2中,的方向对平面而言向内,的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积(简称“外积”,满足“右手定则”)使得两个半平面的法向量一个向内一个向外,则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角的平面角。例4、在例2中,求二面角的大小。解:由例2知,平面的法向量是,平面的法向量是,图6nabAB设二面角的大小为,则,得。求空间距离(1)、异面直线之间距离:方法指导:如图6,①作直线a、b的方向向量、,ABOn图7求a、b的法向量,即此异面直线a、b的公垂线的方向向量;②在直线a、b上各取一点A、B,作向量;③求向量在上的射影d,则异面直线a、b间的距离为,其中(2)、点到平面的距离:方法指导:如图7,若点B为平面α外一点,点A为平面α内任一点,平面的法向量为,则点P到平面α的距离公式为:例5、在例2中,求点到平面的距离。解析:由例2的解答知,平面的单位法向量,又,设点到平面的距离为,则AaBα图8。所以,点到平面的距离为。(3)、直线与平面间的距离:方法指导:如图8,直线与平面之间的距离:图9αβAB,其中。是平面的法向量(4)、平面与平面间的距离:方法指导:如图9,两平行平面之间的距离:图10αa,其中。是平面、的法向量。证明图11αa(1)、证明线面垂直:在图10中,向是平面的法向量,是直线a的方向向量,证明平面的法向量与直线所在向量共线()。(2)、证明线面平行:在图11中,向是平面的法向量,是直线a的方向向量,证明平面的法向量与直线所在向量垂直()。图12βα(3)、证明面面垂直:在图12中,是平面的法向量,是平面的法向量,证明两平面的法向量垂直()(4)、证明面面平行:在图13中,向是平面的法向量,是平面的法向量,证明两平面的法向量共线()。图13αβ三、利用法向量解20XX年高考立体几何试题例6、(湖南理第17题)如图14所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=2.(Ⅰ)证明:平面PBE⊥平面PAB;(Ⅱ)求平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角):如图所示,以A为原点,(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,2),(Ⅰ)因为平面PAB的一个法向量是,⊥,故平面PBE⊥平面PAB.(Ⅱ)易知设是平面PBE的一个法向量,则由得:所以设是平面PAD的一个法向量,则由得:所以故可取于是,故平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小是点评:本题采用常规方法(即综合法)求这个二面角的平面角比较困难,而用向量法只要计算不出问题,一般都能解决问题ABCDEA1B1C1D1yxz图14例7、(全国卷Ⅱ理科第19题)如图14,正四棱柱中,,点在上且.(Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ):以为坐标原点,射线为轴的正半轴,,.,.(Ⅰ)因为,,故,.又,所以平面.(Ⅱ)设向量是平面的法向量,则,.故,.令,则,,.等于二面角的平面角,.:本题主要考查位置关系的证明及二面角的找法和计算,同时也考查学生的空间想象能力和推理能力。例9(安徽卷理第18题)如图16,在四棱锥中,底面四边长为1的菱形,,,,为的中点,为的中点(Ⅰ)证明:直线;(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小;(Ⅲ)求点B到平面OC

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  • 上传人miaoshen1985
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  • 时间2019-07-17