高中理科数学解题方法篇(圆锥曲线).doc

攻克圆锥曲线解答题的策略第一、知识储备:(1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。(2)与直线相关的重要内容①倾斜角与斜率②点到直线的距离③夹角公式:(3)弦长公式直线上两点间的距离:或(4)两条直线的位置关系①=-1②2、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式)标准方程:距离式方程:参数方程:(2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程:距离式方程:(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗?(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗?如:已知是椭圆的两个焦点,平面内一个动点M满足则动点M的轨迹是()A、双曲线;B、双曲线的一支;C、两条射线;D、一条射线(5)、焦点三角形面积公式:(其中)(6)、记住焦半径公式:(1),可简记为“左加右减,上加下减”。(2)(3)(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗?第二、方法储备1、点差法(中点弦问题)设、,为椭圆的弦中点则有,;两式相减得=2、联立消元法:你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?经典套路是什么?如果有两个参数怎么办?设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,使用判别式,以及根与系数的关系,代入弦长公式,设曲线上的两点,将这两点代入曲线方程得到两个式子,然后-,整体消元······,若有两个字母未知数,则要找到它们的联系,消去一个,比如直线过焦点,则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系,则寻找坐标之间的关系,根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为,就意味着k存在。例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上,且点A是椭圆短轴的一个端点(点A在y轴正半轴上).(1)若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC的方程;(2)若角A为,AD垂直BC于D,:第一问抓住“重心”,利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率,从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为可得出AB⊥AC,从而得,然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程;解:(1)设B(,),C(,),BC中点为(),F(2,0)则有两式作差有(1)F(2,0)为三角形重心,所以由,得,由得,代入(1)得直线BC的方程为2)由AB⊥AC得(2)设直线BC方程为,得,代入(2)式得,解得或直线过定点(0,,设D(x,y),则,即所以所求点D的轨迹方程是。4、设而不求法例2、如图,已知梯形ABCD中,点E分有向线段所成的比为,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点当时,求双曲线离心率的取值范围。分析:本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系,如图,若设C,代入,求得,进而求得再代入,建立目标函数,整理,,建立目标函数,整理,:如图,以AB为垂直平分线为轴,直线AB为轴,建立直角坐标系,则CD⊥轴因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点,由双曲线的对称性知C、D关于轴对称依题意,记A,C,E,其中为双曲线的半焦距,是梯形的高,由定比分点坐标公式得,设双曲线的方程为,则离心率由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和代入双曲线方程得,①②由①式得,③将③式代入②式,整理得,故由题设得,解得所以双曲线的离心率的取值范围为分析:考虑为焦半径,可用焦半径公式,用的横坐标表示,回避的计算,:建系同解法一,,,又,代入整理,由题设得,解得所以双曲线的离心率的取值范围为5、判别式法例3已知双曲线,直线过点,斜率为,当时,双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为,试求的值及此时点B的坐标。分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科,因此,“有且仅有”这个微观入手,对照草图,不难想到:过点B作与平行的直线,,可设计如下解题思路:把直线l’的方程代入双曲线方程,消去y,令判别式直线l’:如果从代数推理的角度去思考,就应当把距离用代数式表达,即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”,:转化为一元二次方程根的问题求解问题关于x的方程有唯一解简解:设点为双曲线C上支上任一点,则点M到直线的距离为:于是,,所以,从而有于是关于的方程由可知:方程的二根同正,故恒成立,于是等价于. 由如上关于的方程有唯一解,得其判别式,:上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换,充分体现了全局观念与整体思维的优越