应力状态和强度理论.docx

应力状态和强度理论.docx第八章应力状态和强度理论§8—1概对于轴向拉压和平面弯曲屮的正应力,将其与材料在轴向拉伸(压缩)时的许用应力札I比较来建立强度条件。同样,对于圆杆扭转和平面弯曲中的切应力,由于杆件危险点处横截面上切应力的最大值,且处于纯剪切应力状态,故可将其与材料在纯剪切下的许用应力相比较來建立强度条件。构件的强度条件为式中,工作应力%或皿x由相关的应力公式计算;材料的许用应力[小或[J应用肓接试验的方法(如拉伸试验或扭转试验),测得材料相应的极限应力并除以安全因数来求得。但是,在一般情况下,受力构件内的一点处既冇正应力,又有切应力,这时,一方面要研究通过该点各不同方位截血上应力的变化规律,从而确定该点处的最大正应力和最大切应力及其所在截面的方位。受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合,称为一点处的应力状态。另一方而,山于该点处的应力状态较为复朵,而应力的组合形式乂有无限多的可能性,因此,就不可能用肓接试验的方法来确定每一种应力组合情况下材料的极限应力。于是,就需探求材料破坏(断裂或屈服)的规律。如果能确定引起材料破坏的决定因素,那就可以通过较轴向拉伸的试验结果,來确定各种应力状态下破坏因素的极限值,从而建立相应的强度条件,既弓虽度理论“研究一点的应力状态吋,往往围绕该点取一个无限小的正六面体——单元体來研究。作用在单元体各面上的应力可认为是均匀分布的。(b)如果单元体一対截面上没有应力,即不等于零的应力分量均处于同一处标平血内,则称之为平面应力状态(图8-lb);所有面上均有应力者,称为空间应力状态(图8-la)o在这些而上切应(a)图8-1%(a) (b) (c)图8-2力等于零,而只有正应力(图8-2a)0这样的面称为应力主平面(简称主平面),主平面上的」E应力称为主应力。一般以㈢、”2、眄表示(按代数值㈢鼻血鼻勿)。如果三个主应力都不等于零,称为三向应力状态(图8-2a);如果只冇一个主应力等于零,称为双向应力状态(图8-2b);如果冇两个主应力等于零称为单向应力状态(图8-2c)o单向应力状态也称为简单应力状态,其它的称为复杂应力状态。木章主要研究平面应力状态,并讨论关于材料破坏规律的强度理论。从而为在各种应力状态下的强度计算提供必要的基础。§8-2平面应力状态的应力分析——解析法图8-3—、斜截面应力设幼为一与单元体前后截而垂直的任一斜截面,其外法线77与兀轴间的夹角(方位角)为a(图8-2b),简称为a截面,并规定从x轴到外法线”逆时针转向的方位角a为正值。a截面上的止应力和切应力用%和%表示。对正应力%,规定以拉应力为正,压应力为负;对切应力“,则以具对单元休内任一点的矩为顺时针转向者为正,反之为负。假想地沿斜截面幼将单元体截分为二,取啰为脱离体,如图8-3c所示。根据(b)分别有(d)根据切应力互等定律有将式(b)分别代入式(c)和(d),经整理后有(8-1)(8-2)利用三角关系即可得到(8—3)(8-4)上列两式就是平面应力状态(图8-3a)下,任意斜截面上应力%和%的计算公式。例题8-1图a为一平面应力状态单元体,试求与x轴成30。角的斜截面上的应力。解:由图口J知则山公式(13-3)及(13-4)可直接得到该斜截血上的应力I单位:MPa20例题8-1图 (c)二、主应力和主平面将式(8—3)对a取导数(a)令此导数等于零,可求得%达到极值时的以他表示此值(b)(8-5)由此式可求出他的相差90°的两个根,也就是说有相互垂直的两个血,其屮一个面上作用的正应力是极人值,以"n瘁表示,另一个面上的是极小值,以陆in表示。利用三角关系:(C)将式(13-5)代人上两式,再冋代到式(13-3)经整理后即可得到求巧和和久曲的公式如下:(8-6)式屮根号前取“+”号时得尬X,取“一”号时得皿n。若把式(13-6)的久郴和兀in相加可有下面的关系:(8-9)即:对于同一个点所截取的不同方位的单元体,其相互垂直面上的止应力Z和是一个不变量,称之为第一弹性应力不变量,并可用此关系來校核计算结果。用完全相似的方法,可以讨论切应力“的极值和它们所在的平面。将式(8-4)对a取导数,得令导数等于零,此时G取得极值,其所在的平面的方位角用偽表示,则(b)(8-10)由式(8-10)解出sin2«r和cos2偽。代入式(8-4)求得切应力的最人和最小值是(8-H)与式(13-6)比较,可得(8-⑵再比较式(8-5)秋8-10)两式,则冇(8-13)这表明2ao与2兔相差90;即切应力极值所在平面与主平面的夹角为45。以上所述分析平而应力状态的方法称为解析法。将貝•代入式(13-6)例题8-2图例题8-2图示为某构件某一点的应力状态,试确定该点的主应力的大小及方位。解:由图可知则主应力为由式(8-5)得§8-3应力—、应力圆由斜截面应力计算公式(