江苏省经典高数竞赛题.docx

江苏省经典高数竞赛题.docx2.(江苏省2000年)设/(*)可导,F(x)=/、(x)(1+(0)=0欲使FI)在%=0可导,则B./(0)=0C./(0)+厂(0)=0D・/(0)-/\0)=)讨论函数,x>0,X'°在X=Q处的连续性与可导性。4(江苏省2006年)设/(兀)=ax2+hsinln(1+x),试问Q,b,c为何值吋,/(X)在兀=0处一阶导数连续,但二阶导数不存在5(江苏省1994年)已知八0)=0 ,厂(0)存在,求6已矢口/(")="(X一1)(兀一2)・・・(x—100)则厂(50)= (1 「 z7(江苏省2000年)已知x)」=〒,求厂(兀)8.(南京大学1995年)厂(0)=1厂'(0)=°,求证在乂=0处,有山$[/(")]=dx2[/2( )]9.(江苏省2000年)若y=y(x)由方程组x+z(l-?)=Otey+y+1=02012年江苏省第^一届高等数学竞赛试题(专科)1-limx/4-f3x—4+6%_52一M—>00Itsill'“ xf° 工亠sin-x4_y=InQ—x),贝LIv<FZ>j*x2arctanxcix=os丄丘=XY 1 <* 3 7点qt到直线亍m的距离为&级数f(_i)«=2亠为条件收敛,则常数上的取值范围是H-1二.(6分*2=12分)331^limn3(—-V )“n台(“+矿设/⑴在仁0处可导,且/(0)=1/(0)=2・剜111竺辻土三・在下面两題中,分别指出满足条件的函数是否存在?若存在,举一例,若不存在,请给出证明。(4分+6分=10分)函数/(X)在(—5,5)上有定义(6>0),当一S<X<0时,/(X)严格增加,当0<x<6时,/(工)严格诚少,lim/(x)存在,且/(0)是/(x)的极小值。x->0函数/(x)在(一氐①上一阶可导(d>0),/(0)为极值,且(0,/(0))为曲线y=/⑴的拐点。(10分)求一个次数最低的多项式p(x),使得它在X=1时取得极大值13,在x=4时取得极小值一14°(12分)过点(0,0)作曲线r:y=e_x的切线厶,设D是以曲线「、切线厶及工轴为边界的无界区域。求切线厶的方程。求区域D的面积。求区域D绕X轴旋转一周所得的旋转体的体积。(12分)(1,2,-1),£(5,-2,3)在平面口:2工一尹-2z=3的两侧,「最小。求直线与平面口的交点的坐标。若点Af是圆「的圆心,求球面工的球心坐标与该球面的方程。证明:点肛确是圆「的圆心。(12分)《高等数学》竞赛试题(专科)填空题(每题4分,共32分)r…sinx——sinCsitiw)1■lim -x—^o sinx2・y-=arctail工亠十etailxy盪由X=尸石角走》=》(工),贝U去-ePy=工一一r1xarctanx2,<5・I 7 cix=<•的面积为2x+2v-z+2=0x2+b+z?-4x-2〉・+2zW19的和为二・(10分)设a为正常数,使得x2<对一切正数兀成立,求常数a的量小值三.(10分)设/(x)在[0,1]上连续,且f(x)rfv=xf(x)rfv,求证:存在点^e(O,l),使得ff(x)dx=.(12分)过原点(0,0)作曲线)』-1型的切线,求该切线、曲线r=-lnx与x軸所围成的图形绕诵旋转-周所得的旋转体的体积・六・(12分)已知正方体ABCD-,E为DC•的中点,]妨的中点,(1)试求过点弘EF的平面与JOhBCD所成二面角的值。⑵试求过点4,"的平而截正方体所得到的截而的面积・七(12分)己知觌札}戦増叭0二1血二2妒5JIM福二3心-鬲130#?=2,3川I),记匚=丄,(专科)填空题(每题5分,共40分)-1jt@+2)时,ox+2xlim :—arctanx=xbx-\= ,b= 3•设f(x)=x(x-1X—2)L(x-100),则/c(100)= a= ,b= 时/(x)=ax+x2+—-一在x®0时关于x的无穷1+bx小的阶数最高=5J—~~x= J1(")'点(2,1,-1)关于平面x-r+2z=5的对称点的坐标为 通过点(LL-1)与直线x=r;r=2,z=2+t的平面方程为慕级数I处”的和函数为 ,收敛域为 3存1(8分)设数列{©}为可=j6+g(n=1,2,L),证明:数列{©}收敛,并求其极限b(8分)设/(X)在0,可上连续(67>0),0f(x)dx=0,求证存在 ,使得6fMdc=x/(x)oCL(8分)将面上的曲线(一虻+)•—夕(0<a<b)绕直线z3