江西夏令营测试题解答.docx

江西夏令营测试题解答.docx2010年江四省数学夏令营测试题解答1>MBC中,a+c=3»内心为/,内切圆在AB,BC边上的切点分别为D,E,设K是£>关于点I的对称点,:A,C,K,:设直线刃交AABC的外接圆于点P,易知P是瓜C的中点。记AC的中点为M,则PM丄AC,设点P在直线D/上的射影为N,由于a-hc=3b,则半周长p="+ =2b,于是BD=BE=p-b=b=AC=2CM,又ZABP=ZACP,ABDI=ZCMP=90°所以ADB/s\MCP,且相似比为2熟知;pi=PC=PA。又\DBIs\NPI,所以DI=2IN,即N是/K的中点进而PK=PI・同理PL=PI,所以人C,K,1,、证明:有无穷多组正整数兀,y,z,满足:(x+y+z)2+2(%+y4-z)=5(xy4-yz+zx).证:釆用调整法,显然(旺,必,召)=(1,1,1)是一组解,若(耳,几,zQ是方程的一组解,不妨设Zr=min(无,几,zQ,以z为主元,变形原方程为z2—(3x+3y—2)z+(x?+y~—3xy+2x+2y)=0当取x=xk,y=yk时,关于z的一元二次方程有一根z=z—设另一根为z=z;,则Z=3耳+3)、一2-z«,且易知zk>zk,于是(xk,yk,zk)也是方程的一组解,由于xk+几+z;>忑+yk+ ,可知(母,yk,z;)是方程的一组新的解,且有zk>母,zk>yk,用同样的办法,对(无,九,z:)屮的最小数(g或九)再次进行两次操作,可得解(x;,y;,z;),其中xk>xk,yk>ykyzk>zk,因此方程有无穷多组正整数解x,y,、设/,如果对任意距离为d的点对(即AB=J),tUW/(A)/(B)=d^iL,我们称/保持长度〃.假定/保持长度],且为单射,即:/(B).(d)证明/保持长度2,从而保持任意正整数的长度;(/?)证明/:(G设是距离为2的任意两点:AB=2・取其屮点C,(图一).由条件知/(A)/(C)=1,/(C)/(B)=1,若"4)/(3“2,必有/(A)/(B)<2,作/(C)关于线段/(A)/(B)对称点/(C)(图二),则/(A)/(C)=1,/(C')/(B)=1,所以AC=CB=1,C=C矛盾!从而/(A)/(B)=,/(b)\/AD=y[3,过£>作BC丄AD,且DB=DC=1,则AB=AC=2,\ABC是正三角形(图三).由上一问的结论和己知条件可知,/(A)/(fi)=/(B)/(C)=/(C)/(A)=2,/(B)/(D)=/(Z))/(C)=1,所以/(A)/(B)/(C)/(功是/(B)/(C)中点,/(A)/(D)=73(图四),即/、平面上有〃N5个互不相同的点,每点与其它恰好4个点的距离为1,:设几个点为人1,人2,…,A“,并设A\Aj=1(i=2,3,4,5).由于以人为圆心1为半径的圆,与以金为圆心1为半径的圆至多相交于两点,故A2A3,A2A4,£恰好与4个人•的距离为1・故n&]为圆心1为半径的圆与以久为圆心1为半径的