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电感和电容第6章电容、电感及线性动态电路在电路模型中往往不可避免地要包含电容元件和电感元件。这些元件要用微分的u~i关系来表征,因此有时称为动态元件(dynamicelement)。含有动态元件的电路称为动态电路。动态电路在任一时刻的响应(response,由激励产生的电流和电压称为响应)与激励(excitation,在电路中产生电压和电流的起因称为激励)的全部过去历史有关,这主要是由动态元件的性能所决定的。本章首先介绍动态元件的电压—电流关系,动态元件的储能性质,最后重点分析包含一个动态元件的一阶线性动态电路。(capacitor)。由于介质是不导电的,在外电源的作用下,极板上便能分别聚集等量的异性电荷。电容器是一种能聚集电荷的部件。电荷的聚集过程也就是电场的建立过程,在这过程中外力所作的功应等于电容器中所储藏的能量,因此也可以说电容器是一种能够储存电能的部件。电容器的符号下图所示。对于一定的电容器,极板上所聚集的电荷与外加的电压成正比。如果比例系数是一常数,这种电容元件就是线性的,其比例系数就是电容器的电容量(capacitance),简称电容,用符号C表示,即:电路中使用最多的是平行板电容器,当极板面积为S(m2),极板间的距离为d(m),极板间介质的介电常数ε(F/m)时,其电容为:一个实际的电容器,除了标明它的电容量外,还标明它的额定工作电压。使用电容器时不应超过它的额定工作电压。,如上图所示。当电容两端电压有du变化时,则电容器上的电荷量也必有相应的dq变化,即:dq=Cdu所以流过电容电路的电流:线性电容元件的电流与电压的变化率成正比,电容电压变化越快,即越大,电流就越大。上式还表明了电容的一个重要性质:如果在任何时刻,通过电容的电流只能为有限值,那么,就必须为有限值,这就意味着电容两端的电压不可能跃变,而只能是连续变化的。电容电压不能跃变是分析动态电路时一个很有用的概念。对上式积分,可得电容的电压u与i的函数关系,即:如果只考虑对某一任意选定的初始时刻t0以后电容的情况,上式可写成:【例】已知加在C=1μF电容器上的电压为一三角形波,如图(a)所示,求电容电流。解:已知电容两端电压u(t),求电流i(t),可用下式。由于三角波对称,周期为1ms,只需分析半个周期。当0≤t≤,u=4×≤t≤,u=-4×105t+200故得电流随时间变化的曲线如图中(b)所示,可以看出,电流是一个矩形波。,电压、电流都是随时间变化的,那么,功率也是随时间变化的。每一瞬间的功率,称为瞬时功率。以符号p表示,则:p=ui把同一瞬时的电压和电流相乘,可逐点绘出功率随时间变化的曲线,称为功率波形图。从功率波形图可以看出,功率有时为正,有时为负。说明电容有时吸收功率,有时却又放出功率。电容的能量总是正值,但有时增长,有时减少。即在一段时间,电容吸收了能量,在另一段时间,却又把它释放出来。因此,电容是一种能储存能量的元件,不是耗能元件。电容储存的能量为:例如t=-∞时,电容器上无电荷储藏,即q(-∞)=0,则u(-∞)=0,那么,电容器上t时刻的储能:【例】定值电流4mA从t=0时开始对电容充电,C=1000μF。10s后电容的储能是多少?100s后储能又是多少?设电容初始电压为零。解: 已知i=4mAu(0)=0V,当t=10s时当t=100s时或:作业:P1121,2,。当电感线圈中有电流通过时,线圈周围就建立了磁场,即有磁感线穿过线圈,经过空间,形成封闭的线。磁感线的方向与电流的方向有关,由右手螺旋法则确定,如图所示。磁场也储存能量,因此电感线圈是一种能够储存磁能的部件。当线圈中间和周围没有铁磁物质时,通过线圈的电流变化,穿过线圈的磁通也将发生变化,且磁通φ的变化与电流i的变化成正比关系。ψ=Nφ=Li或长直螺旋管的电感量为:实际的电感线圈可用一个理想电感元件作为它的模型,如下图所示。,磁链也相应地发生变化,根据电磁感应定律,电感两端出现(感应)电压,当感应电压的参考方向与电流参考方向一致时,感应电压等于磁链的变化率,即:以线性电感ψ-i关系式代入得:上式说明:在某一时刻电感电压取决于该时刻电流的变化率,而与该时刻的电流过去的历史无关。上式还表明电感的一个重要性质:如果电感的电压只能为有限值,那么电感的电流是不能突变的,这和电容电压不能跃变的道理是类似的,也是分析动态电路时一个很有用的概念。也