3新课标九年级数学竞赛辅导讲座-第三讲-活力的韦达定理.doc

第三讲充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系,通常也称为韦达定理,,应用广泛,主要体现在:运用韦达定理,求方程中参数的值;运用韦达定理,求代数式的值;利用韦达定理并结合根的判别式,讨论根的符号特征;利用韦达定理逆定理,,设而不求、,充满活力,它与代数、几何中许多知识可有机结合,生成丰富多彩的数学问题,而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法.【例题求解】【例1】已知、是方程的两个实数根,、的非对称式,通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果、都是质数,且,,那么的值为(),得到、的关系,由于两个等式结构相同,可视、为方程的两实根,:应用韦达定理的代数式的值,一般是关于、的对称式,这类问题可通过变形用+、表示求解,而非对称式的求值常用到以下技巧:(1)恰当组合;(2)根据根的定义降次;(3)构造对称式.【例3】已知关于的方程:(1)求证:无论m取什么实数值,这个方程总有两个相异实根.(2)若这个方程的两个实根、满足,求m的值及相应的、.思路点拨对于(2),先判定、的符号特征,并从分类讨论入手.【例4】设、是方程的两个实数根,当m为何值时,有最小值?,再从配方法入手,应注意本例是在一定约束条件下(△≥0):应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根,即应用韦达定理解题时,须满足判别式△≥0这一条件,转化是一种重要的数学思想方法,但要注意转化前后问题的等价性.【例5】已知:四边形ABCD中,AB∥CD,且AB、CD的长是关于的方程的两个根.(1)当m=2和m>2时,四边形ABCD分别是哪种四边形?并说明理由.(2)若M、N分别是AD、BC的中点,线段MN分别交AC、BD于点P,Q,PQ=1,且AB<CD,求AB、CD的长.(20XX年哈尔滨市中考题)思路点拨对于(2),易建立含AC、BD及m的关系式,要求出m值,还需运用与中点相关知识找寻CD、:在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时,往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化,既要注意通过根的判别式的检验,.(1)已知和为一元二次方程的两个实根,并和满足不等式,则实数取值范围是.(2)已知关于的一元二次方程有两个负数根,、是方程的两个实数根,△ABC斜边上的高线,AD、BD是方程的两根,则△、是关于的方程的两根,+1、+1是关于的方程的两根,则、的值分别等于(),-,3C.-1,-3D.-1,△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,a、b是关于的方程的两根,那么AB边上的中线长是()、,则的值是().-