第五章 微分中值定理及其应用1.docx

第五章_微分中值定理及其应用1.docx第五章微分中值定理及其应用为了应用导数的概念和运算来研究函数与实际问题,需要一个联系局部与整体的工具,:求极限的待定型、函数作图、解极值问题§1微分中值定理定义5・1称/(Q在兀。点达到极大(小)值,如果存在/>0,使得/(%)是/(兀)在(兀。+5)的最大(小)值,即/(心)>/(X),XG(x0-5,兀()+3)・(或/(x0)</(x),XG(XO一5,兀o+5))这时,称点为/(x)的极值点・。(费马定理)设/(X)在兀。点附近有定义•若/(X)在兀。点达到极值,且子(兀)在兀0点可导,则广(%0)=・2(闭区间连续函数最值定理)若于(兀)在闭区间[么方]上连续,则于⑴在[恥][a^],使得/(兀J=max/(x), /(无)=min/(x).a<x<b a<x<h定理的意义:该定理是说函数的值域f(X)={f(x)\a<x<b}有最大数与最小数,,y二丄在开区间(0,1)连续,但在(0,1)函数无最大值。Xy=x2在开区间(0,1)连续,但在(0,1)(x)=兀,“w[0,1)虽然定义在闭区间[0」],但不连续,无最大值0,x=,b],分点为C。则S,c],[c,b]两区间中至少有一区间满足性质:另一区间中的每一个点X。,在这个区间中存在一个点),0,使得/(勺)"(儿)。事实上,不妨设[“]满足上述性质,则Vxg[«,c],3ye[cyb],使得 因为若不然,北)w[a,c],使得0yw[c,b],有f(xQ)>f(y),即[a,c]满足上述性质。记⑷,b】]=[a,b],二等分⑷,刚,分点为",则⑷,cj,[“山]两区间中至少有一区间满足上述性质,将这个区间记为[a2,b2];二等分⑷,如〕,分点为C2,则[°2,勺1,心,如]两区间中至少有一区间满足上述性质,将这个区间记为⑷,刚;…,如此继续下去,得一区间套{[an,bn]}9由区间套定理,存在唯一的实数/t=l下证f(r)=maxf(x)。X/xe[a,b],x^r,3n},使xe[ai,b,但xe[]如]。由区间套的构造,北€[仏,如],使得/(X)</(%!)O对X],3«2>n{,使],九_]]‘但x{^[an^b]o于是'3x2e[an^b],使得/(x1)</(x2)O…,如此继续下去,得一数列{©},满足nM>nk,心,\],且f(x)<f(xk)o由于lim心=r以及/(x)的连续性,/W<limf(xk)=f(r),即/(r)=maxf(x)。xe[aj>]最小值的情形,只需考虑尸-/(%),便化为已证得最大值的情形。 先证最大值的情形,用实数基本定理证明。不妨设都不是/•⑴在[恥]的最大值。扩充/(x),使它在x<a时等于f(a),在x>b时等于f(b),则它在(yo,+00)连续,令A={a\BxQ>a,使得f(xQ)>f(x),\/x<aB=R\A这时R的一个分划,事实上,由ciwA,bwB知不空,显然AoB=R,