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线性代数知识点总结材料汇总情况.doc


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线性代数知识点总结1行列式(一)行列式概念和性质1、逆序数:所有的逆序的总数2、行列式定义:不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质:(用于化简行列式)(1)行列互换(转置),行列式的值不变(2)两行(列)互换,行列式变号(3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式(4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和。(5)一行(列)乘k加到另一行(列),行列式的值不变。(6)两行成比例,行列式的值为0。(二)重要行列式4、上(下)三角(主对角线)行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式:(A是m阶矩阵,B是n阶矩阵),则7、n阶(n≥2)范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a,其余元素为b的行列式的值:(三)按行(列)展开9、按行展开定理:(1)任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值(2)行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0(四)行列式公式10、行列式七大公式:(1)|kA|=kn|A|(2)|AB|=|A|·|B|(3)|AT|=|A|(4)|A-1|=|A|-1(5)|A*|=|A|n-1(6)若A的特征值λ1、λ2、……λn,则(7)若A与B相似,则|A|=|B|(五)克莱姆法则11、克莱姆法则:(1)非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯一解(2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,则它的系数行列式必为0(3)若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解;如果方程组有非零解,那么必有D=0。2矩阵(一)矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项:(1)矩阵乘法要求前列后行一致;(2)矩阵乘法不满足交换律;(因式分解的公式对矩阵不适用,但若B=E,O,A-1,A*,f(A)时,可以用交换律)(3)AB=O不能推出A=O或B=O。2、转置的性质(5条)(1)(A+B)T=AT+BT(2)(kA)T=kAT(3)(AB)T=BTAT(4)|A|T=|A|(5)(AT)T=A(二)矩阵的逆3、逆的定义:AB=E或BA=E成立,称A可逆,B是A的逆矩阵,记为B=A-1注:A可逆的充要条件是|A|≠04、逆的性质:(5条)(1)(kA)-1=1/k·A-1(k≠0)(2)(AB)-1=B-1·A-1(3)|A-1|=|A|-1(4)(AT)-1=(A-1)T(5)(A-1)-1=A5、逆的求法:(1)A为抽象矩阵:由定义或性质求解(2)A为数字矩阵:(A|E)初等行变换(E|A-1)(三)矩阵的初等变换6、初等行(列)变换定义:(1)两行(列)互换;(2)一行(列)乘非零常数c(3)一行(列)乘k加到另一行(列)7、初等矩阵:单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。8、初等变换与初等矩阵的性质:(1)初等行(列)变换相当于左(右)乘相应的初等矩阵(2)初等矩阵均为可逆矩阵,且Eij-1=Eij(i,j两行互换);Ei-1(c)=Ei(1/c)(第i行(列)乘c)Eij-1(k)=Eij(-k)(第i行乘k加到j)★(四)矩阵的秩9、秩的定义:非零子式的最高阶数注:(1)r(A)=0意味着所有元素为0,即A=O(2)r(An×n)=n(满秩)|A|≠0A可逆;r(A)<n|A|=0A不可逆;(3)r(A)=r(r=1、2、…、n-1)r阶子式非零且所有r+1子式均为0。10、秩的性质:(7条)(1)A为m×n阶矩阵,则r(A)≤min(m,n)(2)r(A±B)≤r(A)±(B)(3)r(AB)≤min{r(A),r(B)}(4)r(kA)=r(A)(k≠0)(5)r(A)=r(AC)(C是一个可逆矩阵)(6)r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT)(7)设A是m×n阶矩阵,B是n×s矩阵,AB=O,则r(A)+r(B)≤n11、秩的求法:(1)A为抽象矩阵:由定义或性质求解;(2)A为数字矩阵:A初等行变换阶梯型(每行第一个非零元素下面的元素均为0),则r(A)=非零行的行数(五)伴随矩阵12、伴随矩阵的性质:(8条)(1)AA*=A*A=|A|E★A*=|A|A-1(2)(kA)*=kn-1A*(3)(AB)*=B*A*(4)|A*|=|A|n-1(5)(AT)*=(A*)T(6)(A-1)*=(A*)-1=A|A|-1(7)(A*)*=|A|n-2·A★(8)r(A*)=n(r(A)=n);r(A*)=1(r(A)=n-1);r(A*)=0(r(A)<n-1)(六)分块矩阵13、分块矩阵的乘法:要求前列后行分法相同。14、分块矩阵求逆:3向量(一)向量的概念及运算1、向量的内积:(α,

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