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根式及其运算
二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础,在进行根式运算时,往往用到绝对值、整式、分式、因式分解,以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法,也就是说,根式的运算,,然后进行例题分析.

二次根式的性质:


二次根式的运算法则:


设a,b,c,d,m是有理数,且m不是完全平方数,则当且仅

当两个含有二次根式的代数式相乘时,如果它们的积不含有二次根式,则这两个代数式互为有理化因式.
例1 化简:

法是配方去掉根号,所以

因为x-2<0,1-x<0,所以
原式=2-x+x-1=1.

=a-b-a+b-a+b=b-a.
说明若根式中的字母给出了取值范围,则应在这个范围内进行化简;若没有给出取值范围,则应在字母允许取值的范围内进行化简.
例2 化简:

分析两个题分母均含有根式,若按照通常的做法是先分母有理化,,再化简.






解法1 配方法.

配方法是要设法找到两个正数x,y(x>y),使x+y=a,xy=b,则

解法2 待定系数法.



例4 化简:



(2)这是多重复合二次根式,可从里往外逐步化简.



分析被开方数中含有三个不同的根式,且系数都是2,可以看成
解设

两边平方得


②×③×④得
(xyz)2=5×7×35=352.
因为x,y,z均非负,所以xyz≥0,所以
xyz=35.⑤
⑤÷②,有z==5,y=,y,z显然满足①,所以


解设原式=x,则




解法1 利用(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)来解.

将方程左端因式分解有
(x-4)(x2+4x+10)=0.
因为
x2+4x+10=(x+2)2+6>0,
所以x-4=0,x==4.
解法2


说明解法2看似简单,但对于三次根号下的拼凑是很难的,因此本题解法1是一般常用的解法.
例8 化简:

解(1)




本小题也可用换元法来化简.



解用换元法.



解直接代入较繁,观察x,y的特征有

所以
3x2-5xy+3y2=3x2+6xy+3y2-11xy
=3(x+y)2-11xy
=3×102-11×1=289.
例11 求

分析本题的关键在于将根号里的乘积化简,不可一味蛮算.
解设根号内的式子为A,注意到1=(2-1),及平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,所以
A=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)…(2256+1)+1
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)…(2256+1)+1
=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)…(2256+1)+1
=…=(2256-1)(2256+1)+1
=22×256-1+1=22×256,



的值.
分析与解先计算几层,看一看有无规律可循.




,利用根号的层数是无限的特点,有
两边平方得

两边再平方得
x4-4x2+4=2+x,所以x4-4x2-x+2=0.
观察发现,当x=-1,2时,,方程左端必有因式(x+1)(x-2),将方程左端因式分解,有
(x+1)(x-2)(x2+x-1)=0.



解因为



练****br/> :


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