浙江省2011届高三数学期末试题分类汇编导数及其应.doc

浙江省2011届高三数学期末试题分类汇编——导数及其应用
一、选择题
1.【嘉兴市·理】8.(文科7)己知函数,其导数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)的极小值是( ▲D )
+b+c +4b+c +2b
2.【宁波市·理】(a,b),其导函数内的图象如图所示,则函数在区间(a,b)内极小值点的个数是 A
(A)1 (B)2
(C)3 (D)4
二、填空题
1.【嘉兴市·理】(a≠0),若,x0>0,则x0= ▲.
2.【温州中学·理】,对任意的恒成立,则的取值范围为_____(-2,)______.
三、计算题
1.【杭州市·文】(19)(本题14分)设是定义在上的奇函数,且当时,.
(Ⅰ) 求时,的表达式;
(Ⅱ) 令,问是否存在,使得在x = x0处的切线互相平行?若存在,请求出值;若不存在,请说明理由.
【解】(Ⅰ) 当时,,
; --- 6分
(Ⅱ)若在处的切线互相平行,则, --- 4分
,解得,
∵x > 0 , 得. --- 4分
2.【杭州市·文】(22) (本题15分)已知函数.
(Ⅰ)当a=3时,求f(x)的零点;
(Ⅱ)求函数y=f (x)在区间[ 1,2 ] 上的最小值.
【解】(Ⅰ) 由题意,
由,解得或; --- 4分
(Ⅱ) 设此最小值为,而
(1)当时,
则是区间[1,2]上的增函数, 所以; --- 3分
(2)当时,
在时,
在时, --- 3分
①当,即时,;
②当,即时,
③当时,.
综上所述,所求函数的最小值. --- 5分
3.【嘉兴市·理】20.(本小题满分14分)
已知函数(a∈R)
(Ⅰ)若函数f(x)的图象在x=2处的切线方程为,求a,b的值;
(Ⅱ)若函数f(x)在(1,+∞)为增函数,求a的取值范围.
【解】(1)因为:f'(x)=x-(x>0),又f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b
所以 2分
解得:a=2, 4分
b=-2In2 6分
(2)若函数f(x)在(1,+∞)'(x)=x-≥0在(1,+∞)上恒成立
即:a≤x2在(1,+∞)上恒成立。所以有a≤l 14分
4.【宁波市·理】22.(本题14分)已知函数和点,过点作曲线的两条切线、,切点分别为、.
(1)求证:为关于的方程的两根;
(2)设,求函数的表达式;
(3)在(2)的条件下,若在区间内总存在个实数(可以相同),使得不等式成立,求的最大值.
【解】(1)由题意可知:
∵, ……2分
∴切线的方程为:,
又切线过点, 有,
即, ①
同理,由切线也过点,得.②
由①、②,可得是方程( * )的两根……5分
(2)由( * )知.
,
∴.……………………9分
(3)易知在区间上为增函数,
,
则.…11分
即,即,
所以,由于为正整数,所以.
又当时,存在,满足条件,所以的最大值为. ……………14分
5.【宁波市·文】20.(本题满分14分)已知函数,,设.
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)若以函数图象上任意一点为切点的切线斜率
恒成立,求实数的最小值.
【解】(Ⅰ)由已知可得,函数的定义域为
则
由可得在区间上单调递增,
得在上单调递减……6分
(Ⅱ)由题意可知对任意恒成立
即有对任意恒成立,即
令
则,即实数的最小值为; ……14分
6.【嘉兴市】21、已知函数(1)判断函数的对称性和奇偶性;(2)当时,求使成立的的集合;(3)若,记,且在有最大值,求的取值范围.
【解】(1)由函数可知,函数的图象关于直线对称;
当时,函数是一个偶函数;当时,取特值:,故函数是非奇非偶函数.
(2)由题意得,得或;因此得或或,故所求的集合为.
(3)对于,
若,在区间上递增,无最大值;
若,有最大值1
若,在区间上递增,在上递减,有最大值;
综上所述得,当时,有最大值.
7.【台州市·理】22. (本题满分14分)已知= ,数列满足:
(1)求在上的最大值和最小值;
(2)证明:;
(3)判断与的大小,并说明理由.
【解】(1)
当时,
在上是增函数………………6分

(2)(数学归纳法证明)
①当时,由已知成立;
②假设当时命题成立,即成立,
那么当时,由①得

,这就是说时命题成立.
由①、②知,命题对于都成立…………9分
(3) 由
记得……10分
当时,故
所以<0 得g(x)在是减函数,
∴g(x