b函数和Bessel函数.ppt

第二次课、Diracδ函数、b函数和Bessel函数内容:一、Diracδ函数二、b(x)函数三、Bessel函数1一、Diracδ函数1°Diracδ函数的定义2°Diracδ函数可以用一些连续函数的序列极限来表示3°Diracδ函数的性质4°复合函数形式的Diracδ函数——δ[h(x)]5°二维Diracδ函数2MMQQI激光脉冲及其它小光源3早在一个多世纪前,物理学家就感到有必要引入一个数学符号来描述质点、点电荷、点光源及又窄又强的电脉冲等一类物理量,当时用于描述这种物理量的数学符号被称之为‘冲击脉冲符号’。1947年,《PrincipleofQuantumMechanics》中正式引入δ(x),并称它为‘奇异函数’或‘广义函数’。δ(x)函数之所以被称为‘奇异函数’或‘广义函数’,原因在于:一、它不象普通函数那样存在确定的函数值,而是一种极限状态,而且它的极限也和普通函数不同,不是收敛到定值,而是收敛到无穷大;二、函数不象普通函数那样进行四则运算和乘幂运算,它对别的函数的作用只能通过积分来确定。41°Diracδ函数的定义对于自变量为一维的δ函数­——δ(x)来说,它满足下列条件:(1)这表明,δ(x)函数在x≠0点处处为零,在x=0点出现无穷大极值,x=0点又称为奇异点。但是,尽管δ(0)趋近于无穷大,对它的积分却等于1,即对应着δ函数的‘面积’或‘强度’等于1,所以δ(x)又叫做单位脉冲函数。很显然,等式:(2)成立。f(x)是定义在区间(-∞,∞)上的连续函数。5在光学里,δ(x)函数常常用来表示位于坐标原点的具有单位光功率的点光源,由于点光源所占面积趋近于零,所以在x=0点功率密度趋近于无穷大。在(1)和(2)中变换原点,得到:(3)其中a为任意常数。因此用δ(x-a)乘x的函数,并对所有x积分的过程,等效于用a代替x的过程。*定义的另外形式:62°δ(x)可以用一些连续函数的序列极限来表示1)、归一化的Gauss分布函数G(x):(4)该函数具有如下的性质:(5)当σ→0时,G(x)就趋向于δ(x),即:(6)72)、函数的极限也满足δ(x)函数的条件:(7)其中α>0。3)、函数的极限也满足δ(x)函数的条件,即:(8)其中α>0。84)、阶跃函数的导数也可以表示Diracδ(x)函数。根据第一次课所讲的内容可知,阶跃函数step(x)也称为Heaviside函数,可以用H(x)表示,其定义如下:(9)函数H(x-a)对x的导数也满足δ(x)的条件,即:(10)9(1)(3)10