【工具辅导类】算得巧.pdf

写在前面的话
数学是锻炼脑盘的体操。无论计算,还是解题,都要力争根据具体情竞选用
简便算法或解法,有目的地培养学生思维的敏捷性和灵活性。不少人都有这个体
验:获得最优美、最巧妙的解法是一种愉快的享受。
算得巧与算得笨不仅仅是方法的不同,更重要的是思维方式的不同。巧算,
属于求异思维。它往往具有独特、新颖、简捷的特点。
本书面向小学中、高年级,从数的概念、数的计算、应用题、几何初步知识
几个方面,比较系统地总结了巧算的方法、算理和技巧。本书在写作过程中,注意
了以下出点。
要求新。所谓新,就是别的书上没有讲过或没有集中讲过的新发现、新经
验、新的归纳总结。
不求全。全是相对的,没有必要把勉强叫巧算的内容加上去。累此,各知
识点的分配是不平衡的。本书的目的是抛砖引玉,让同学们由此受到启发,做好积
累、整理工作。
讲实用。对于那些与其记一大堆法则,还不如再算一遍的巧算,我们一律
不选。有些巧算的法则好记又实用,尽管不少人都知道,我们还是选了。
有难度。在几百个例题中,有的题是比较难的。我们的目的是让那些学有
余力的同学,能在课余时间有更多的机会锻炼自己的脑筋,提高解题能力。
重方法。本书在介绍计算方法时,由于按先讲整数计算,再讲分数计算;
这两部分又按加、减、乘、除的顺序编写,所以,例题的题型选择不全,重在讲方
法。
不重复。本书内容既配合课本,又不重复课本。课堂上讲的内容,这里不
再重复。比如,“巧用运算规律”,因为课堂内已经讲过,这里只重点介绍了一些
典型问题。
本书在写作过程中,常舒正老师审阅了大部分书稿,眭双祥老师提供了有益
的资料并补写了某些内容。在此,谨向他们表示衷心的感谢。
作者
算得巧
巧答概念题
约数的对称关系
很多同学在求某个合数的约数时,往往找不全。这里,向同学们介
绍一种巧用对称关系找约数的方法。
如果把任何一个合数的约数,从小到大排列成一串数,那么我们会
发现,这些数总是关于某个处于中心位置的数成对存在。为了便于叙述,
我们把这个中心位置的数叫做“中心数”
如果某个合数恰好是某个自然数的平方,那么这个“中心数”就是
这个自然数,它自然是这个合数的约数,只要把比“中心数”小的几个
约数找出来,其他的约数便能一个不漏地迅速找出来。比如,要求
的约数,,在的约数里,比小的个约数为、、、,加
外个约数为、、、。如下图:
如果这个合数不是某个自然数的平方,那么就要找出一个近似的“中
心数”。比如,要求的约数。因为,所以可以选或
为“中心数”。先找出比或小的个约数、、、,再找出
另外个约数、、、。如下图:
由此可知,一个合数的“中心数”可能是这个合数的约数,也可能
不是。
试一试
试求、、、的所有约数。
巧用筛去法判别
判断某个数能否被整除,这是大家熟悉的问题。可是,当一个数
较大时,把一个数各数位上的数字相加,不仅判断速度慢,而且很容易
出现口算错误。下面介绍一种简便判断方法——筛去法(或称消倍法)。
这种方法就如同用一种特殊的筛子,先把某个数的各个数位是的
倍数的数筛去,然后把剩余的有限几个数字相加,看它们的和是否是
的倍数。如果剩下的数字之和是的倍数,那么原数就是的倍数。
比如,判断下面的数能否被整除:
;;。
,直接筛去能被整除的、; 与的和是的倍数,所
以能被整除。
,直接筛去能被整除的、、; 与的和是的倍数,
所以能被整除。
,直接筛去能被整除的、;、与的和不是的倍
数,所以不能被整除。
试一试
判断下面的数能否被整除:

巧妙判定被约
一个数能否被整除,只要把这个数的末位数字截去,然后从余下
的数中减去这个末位数字的倍,如果这时能一眼看出这个得数是的
倍数,那么这个数就能被整除,否则就不能被整除。要是仍看不出
是否能被整除,那就要继续上述的过程,直到能清楚地作出判断为止。
比如,判断能否被整除。
因为能被整除,所以能被整除。这是由于
×(×)×
××
×(-)×
×-×
××-(-×)
前项有约数,且与互质,故只要检验(-×)能否被整除
就可以了。
如果所要判定的数,位数比较多,那么这种做法可以一直进行下去。
又如,判断能否被整除。
因为能被整除,所以能被整除。
以上这种方法叫割尾法。以下判定某数能否被、、、整除
也可以用割尾法。但是,大家务必注意它们的区别。
巧妙判定被约
判定一个数能否被整除,大体上有三种方法:割尾法、奇偶位差
法、分节求和法。
割尾法:一个数能否被整除,只要把这个数的末位数字截去,
然后从余下的数中减去