烟台芝罘区数学高三专题复习-数列求前n项和及数列综合经典练习(含答案).doc

山东省烟台市芝罘区数学2015-2016高三专题复****数列(2)求和及经典练****含答案)烟台乐博士教育特供明老师整理一、公式法:利用以下公式求数列的和1.(为等差数列)2.()或(为等比数列),其中,记数列的前项和为,数列的前项和为,求。解:由题意,是首项为,公差为的等差数列前项和,二、分组求和法对于数列,若且数列、……都能求出其前项的和,则在求前项和时,可采用该法例如:求和:解:设三、倒序相加法(或倒序相乘法)将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个,Sn表示从第一项依次到第n项的和,然后又将Sn表示成第n项依次反序到第一项的和,将所得两式相加,由此得到Sn的一种求和方法。,利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法,可求得的值为:。解:因为f(x)=,∴f(1-x)=∴f(x)+f(1-x)=.设S=f(-5)+f(-4)+…+f(6),则S=f(6)+f(5)+…+f(-5)∴2S=(f(6)+f(-5))+(f(5)+f(-4))+…+(f(-5)+…f(6))=6∴S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(6)=:已知、为两个不相等的正数,在、之间插入个正数,使它们构成以为首项,为末项的等比数列,求插入的这个正数的积解:设插入的这个正数为、、、……且数列、、、、……、成等比数列则……①又……②由①②得四、错位相减法对于数列,若且数列、分别是等差数列、等比数列时,求该数列前项和时,可用该方法。一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q,然后再将得到的新和式和原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和,就是错位相减法。例已知数列:,求数列前项和解:在上式两边同乘以(或除以)等比数列的公比3,得由①~②(两等式的右边错位相减)∴五、裂项相消法对相应的数列的通项公式加以变形,将其写成两项的差,这样整个数列求和的各加数都按同样的方法裂成两项之差,其中每项的被减数一定是后面某项的减数,从而经过逐项相互抵消仅剩下有限项,(其中{}是各项不为0的等差数列,c为常数)、部分无理数列、含阶乘的数列等。常见的裂项方法有::;;;等。例已知数列:,求数列前项和解:六、并项法例已知则解:同理七、,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,能分为几个等差、等比或常见的数列的和、差,则对拆开后的数列分别求和,{n(n+1)(2n+1)}:设∴=将其每一项拆开再重新组合得:Sn====八、累加法给出数列{}的递推式和初始值,若递推式可以巧妙地转化为型,可以考虑利用累加法求和,此法也叫叠加法。例数列的前项和为,已知,求解:由得:,即,,对成立。由,,…,累加得:,又,所以,当时,也成立。、第3项、第2项,且(Ⅰ)求;(Ⅱ)设,,其中(Ⅰ)求;(Ⅱ)求数列的通项公式;(Ⅲ),且有,(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项的和。{}满足,且.(Ⅰ)求,;(Ⅱ)证明数列{}是等差数列;(Ⅲ)求数列{},, (Ⅰ)求数列的通项;(Ⅱ)求数列的前项和6..求证:⑴数列{bn+2}是公比为2的等比数列;⑵;⑶.,且的等比中项.(1)求数列的通项公式;(2),,且,其中.①求证数列是等比数列;②{}的前n项和,并且=1,对任意正整数n,;设).(I)证明数列是等比数列,并求的通项公式;(II)设的前n项和,: 设该等差数列为,则,,即:,,,,的前项和当时,,(8分)当时,,:(1)由知解得:同理得(2)由知构成以为首项以2为公比的等比数列;;为所求通项公式(3):由,,又,,是以2为首项,为公比的等比数列,,(1)(2)(1)—(2)得即:,:(Ⅰ),.(Ⅱ),∴,即.∴数列是首项为,公差为的等差数列.(Ⅲ)由(Ⅱ)得∴..∴.:(Ⅰ),, 又,数列是首项为,公比为的等比数列, 当时,,(Ⅱ),当时,;当时,,…………①,………………………②得: 又也满足上式,:⑴数列{bn+2}是首项为4公比为2的等比数列;⑵由⑴知……上列(n-1)式子累加:⑶.:(1)设等差数列的公差为,则