克罗内克(kronecker)积及其应用.pdf

第VI章克罗内克(Kronecker)×np×q定义1—1设A=(aij)∈c,B=(bij)∈c,则称如下的分块矩阵a11Ba12BLa1nBa21Ba22BLa2nBmp×nqA⊗B=∈CLLLLam1Bam2BLamnB为的克罗内克()积,或称与的直积,或张量积,简记为即AKroneckerABA⊗B=(aijB)m×n,A⊗B是一个m×n块的分块矩阵,最后是一个mp×nq阶的矩阵。abx例1—1设A=,B=,那么cdyaxbxaBbBaybyA⊗B==cBdBcxdxcydy4×2xaxbacbxxAxcxdcxdxB⊗A===yAyaybaybyycydcydy4×2由这个例子可以看出,A⊗B与B⊗A一般不是同一矩阵,即Kronecker积不满足交换律,但它们的阶数是相同的。对单位矩阵,有In⊗Im=Im⊗In=,矩阵的Kronecker积满足下列运算律:(A⊗B)=kA⊗B=A⊗kB,k∈c;(A+B)⊗C=A⊗C+B⊗C;(A⊗B)⊗C=A⊗(B⊗C).下面我们来研究Kronecker积的另一个重要性质,这条性质对进一步研究Kronecker积有着重要的作用。定理1—1设A=(aij)m×n,B=(bij)s×r,C=(cij)n×p,D=(dij)r×t,则(A⊗B)(C⊗D)=AC⊗BD(1—1)证因为(A⊗B)(C⊗D)=(aijB)(cijD)n=(∑aikckjBD)=((AC)ijBD)k=1=AC⊗BD式中(AC)ij是矩阵AC中第i行第j列的元素。证毕推论若A=(aij)m×m,B=(bij)n×n,则A⊗B=(A⊗In)(Im⊗B)=(Im⊗B)(A⊗In)定理1—2设A=(aij)m×n,B=(bij)p×q,则TTT(A⊗B)=A⊗B(1—2)HHH(A⊗B)=A⊗B(1—3)证因为Ta11BLa1nBTT(A⊗B)=(aB)=ijMMam1LamnBTTa11BLam1BTT=MM=A⊗BTTa1nBLamnBHHH同理可证(A⊗B)=A⊗B。证毕2定理1—3设A,B分别为m阶和n阶可逆矩阵,则A⊗B也为可逆矩阵,且−1−1−1(A⊗B)=A⊗B(1—4)证由式(1—1)有(A⊗B)(A−1⊗B−1)=(AA−1⊗BB−1)=Im⊗In=Imn−1−1−1即(A⊗B)=A⊗B证毕由式(1—2)、(1—4)可见,对于Kronecker积,转置和求逆的反序法则不再成立,这也是与通常的矩阵乘法的主要区别之一。定理1—4设A=(aij)m×n,B=(bij)p×q,则rank(A⊗B)=rank(A)rank(B)(1—5)证设A与B的标准形为A1与B1,即MAN=A1,PBQ=B1(1—6)其中M、N、P、Q分别为m阶、n阶、p阶和q阶非奇异矩阵,且11OO11A1=,B1=00OO00A1中数1的个数为rank(A),B1中数1的个数为rank(B)。由式(1—6)有−1−1−1−1A=MA1N,B=PB1Q于是,由式(1—1)有−1−1−1−1A⊗B=(MA1N)⊗(PB1Q)−1−1−1−1=(M⊗P)(A1⊗B1)(N⊗Q)−1−1−1−1由定理1—3知,M⊗P,N⊗Q均为非奇异矩阵,故3rank(A⊗B)=rank(A1⊗B1)而A1⊗B1的秩为rank(A)rank(B),于是rank(A⊗B)=rank(A)rank(B)证毕定理—设是的个特征值,是的个特征值,那15λ1,λ2LλmAm×nmµ1,µ2,LµpBp×pp么的个特征值为A⊗Bmpλiµj(i=1,2L,m;j=1,,p).证由第三章§2知,A与B一定与Jordan标准形相似,即存在可逆矩阵P与Q,使得λ∗µ1∗−1−1PAP=J=,QBQ=J=1O2O0λm0µp即有λ∗µ1∗−1−1A=.POP,B=QOQ0λm0µp从而由式(1—1)有λ1∗µ1∗−1−1A⊗B=(P⊗Q)(O⊗O)(P⊗Q)0λm0µpµ1∗λ1O∗0µp−1=(P⊗Q)O(P⊗Q)µ1∗0λmO0µp即有4λ1µ1*O